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高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
第一章函数与极限
一.函数的概念
两个无穷小的比较
设limf(x)?0,limg(x)?0且limf(x)?l
g(x)
（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[g(x)]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x)
sinx~x，
sinx~x，tanx~x，arcsinx ~x，arccosx ~x，
1?cosx~ x^2/2，ex?1~x，ln(1?x) ~x，(1?x)??1~?x
二．求极限的方法
两个准则
准则1.单调有界数列极限一定存在
准则2.（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x)
若limg(x)?A,limh(x)?A，则limf(x)?A
两个重要公式
公式1limsinx?1
x?0 x
公式2lim(1?x)1/x?e
x?0
用无穷小重要性质和等价无穷小代换
用泰勒公式
当x?0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次
x2 3 nx xex?1?x? ? ?...? ?o(xn
x2 3 nx x
2! 3! n!
x3 x5 x2n?1
sinx?x? ? ?...?(?1)n
3! 5! (2n?1)!
?o(x2n?1)
x2 4xcosx?1? ? ?...?(?1)
x2 4x
x2n
o(x2n)
2! 4! 2n!
x2 3xnln(1?x)?x? ? ...?(?1)n?1x ?o(xn)
x2 3x
n
2 3 n
(1?x)??1??x??(??1)x2?...??(??1)...(??(n?1))xn?o(xn)
2!
x3 x5
n!
x2n?1
arctanx?x? ? ?...?(?1)n?1
3 5 2n?1
洛必达法则
?o(x2n?1)
定理1 设函数f(x)、F(x)满足下列条件：
limf(x)?0，limF(x)?0；
00x?x x?x
0
0
f(x)与F(x)在x的
0
某一去心邻域内可导，且F?(x)?0；
lim
f?(x)存在（或为无穷大），则lim
f(x)
?lim
f?(x)
x?x
0
F?(x) x?x
0
F(x) x?x
0
F?(x)
这个定理说明：当lim
f?(x)存在时，lim
f(x)
也存在且等于lim
f?(x)；当
x?x
0
F?(x) x?x
0
F(x) x?x
0
F?(x)
lim
x?x
0
f?(x)为无穷大时，lim
F?(x) x?x
0
f(x)
F(x)
也是无穷大．
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值
的方法称为洛必达（L?Hospital）法则.
?型未定式
?
定理2 设函数f(x)、F(x)满足下列条件：
limf(x)??，limF(x)??；
00x?x x?x
0
0
0f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F?(x)?0；
0
? f(x) f?(x)
lim
f(x)存在（或为无穷大），则
lim ?lim
x?x
0
F?(x)
x?x
0
F(x) x?x
0
F?(x)
注：上述关于x?x
时未定式?型的洛必达法则，对于x??时未定式?型
同样适用．
0 ? ?
使用洛必达法则时必须注意以下几点：
洛必达法则只能适用于“0”和“?”型的未定式，其它的未定式须
0 ?
先化简变形成“0”或“?”型才能运用该法则；
0 ?
只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；
洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．
利用导数定义求极限
基本公式lim
f(x
0
??x)?f(x)
0
?f(x
)(如果存在）
?x?0 ?x 0
利用定积分定义求极限
基本格式lim1?n
k
f( )
??1
f(x)dx（如
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