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《高等数学复习》教程
第一讲函数、连续与极限
一、理论要求
函数概念与性质 函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期)
几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数)
极限 极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
连续 函数连续(左、右连续)与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值)
A.极限的求法
二、题型与解法
用定义求
代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子)
变量替换法
两个重要极限法
用夹逼定理和单调有界定理求
等价无穷小量替换法
洛必达法则与Taylor级数法
其他(微积分性质,数列与级数的性质)
limarctanx?x?limarctanx?x
??1(等价小量与洛必达)
x??0ln(1?2x3) x??0
2x3 6
已知limsin6x?xf(x)
?0,求lim6?f(x)
x??0 x3 x??0 x2
limsin6x?xf(x)?lim6cos6x?f(x)?xy
解:x??0 x3
x??0
3x2
?lim?36sin6x?2y?xy?lim?216cos6x?3y?xy
x??0 6x x??0 6
??216?3y(0)
6
?0?y(0)?72
lim6?f(x)
?limy
?lim
y?
72?36 (洛必达)
x??0 x2
x??02x x??02 2
lim(2x)2x
重要极限
?3.
?
x??1x 1
x?1 (
)
求lim(ax?bx)3
已知a、b为正常数,
x
x??0 2
ax?bx 3 3
解:令t?(
)x,lnt? [ln(ax?bx)?ln2]
2 x
3 3limlnt?lim (axlna?bxlnb)? ln(ab)
3 3
x??0 x??0ax?bx 2 (变量替换)
?t?(ab)3/2
1
lim(cosx)ln(1?x2)
x??0
12 1
解:令t?(cosx)ln(1?x),lnt?
ln(1?x2)
ln(cosx)
limlnt?lim
tanx 1
?? ?t?e?1/2(变量替换)
x??0
x??0 2x 2
?x2
f(t)dt
6.设f(x)连续,f(0)?0,f(0)?0,求lim
x??0
(洛必达与微积分性质)
?ln(cosx)x?2,x?0
x2?x
00
0
?1
f(t)dt
7.已知f(x)?? 在x=0连续,求a
?a,x?0
解:令a?limln(cosx)/x2
x??0
??1/2 (连续性的概念)
三、补充习题(作业)
1?x?cos
1?x?cos x
x??0
??3 (洛必达)
limctgx( 1
1) (洛必达或Taylor)
x??0
sinx x
x?xe?t2dt
lim 0
?1 (洛必达与微积分性质)
x??01?e?x2
第二讲导数、微分及其应用
一、理论要求
导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导)会求平面曲线的切线与法线方程
微分中值定理
应用
理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题
会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图会计算曲率(半径)
二、题型与解法
导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
?y?y(x)由? x?arctant 决定,求dy
?
?2y?ty2?et?5 dx
dy
y?y(x)由ln(x2
y)?x3y?sinx决定,求
dx
| ?1
x?0
曲线切法线问题
解:两边微分得x=0时y?ycosx?y,将x=0代入等式得y=1
y?y(x)由2xy?x?y决定,则dy| ?(ln2?1)dx
x?0
求对数螺线??e?在(?,?)?(e?/2,?/2)处切线的直角坐标方程。
??x
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