高等数学复习资料大全.docx

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《高等数学复习》教程

第一讲函数、连续与极限

一、理论要求

函数概念与性质 函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期)

几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数)

极限 极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限

连续 函数连续(左、右连续)与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值)

A.极限的求法

二、题型与解法

用定义求

代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子)

变量替换法

两个重要极限法

用夹逼定理和单调有界定理求

等价无穷小量替换法

洛必达法则与Taylor级数法

其他(微积分性质,数列与级数的性质)

limarctanx?x?limarctanx?x

??1(等价小量与洛必达)

x??0ln(1?2x3) x??0

2x3 6

已知limsin6x?xf(x)

?0,求lim6?f(x)

x??0 x3 x??0 x2

limsin6x?xf(x)?lim6cos6x?f(x)?xy

解:x??0 x3

x??0

3x2

?lim?36sin6x?2y?xy?lim?216cos6x?3y?xy

x??0 6x x??0 6

??216?3y(0)

6

?0?y(0)?72

lim6?f(x)

?limy

?lim

y?

72?36 (洛必达)

x??0 x2

x??02x x??02 2

lim(2x)2x

重要极限

?3.

?

x??1x 1

x?1 (

求lim(ax?bx)3

已知a、b为正常数,

x

x??0 2

ax?bx 3 3

解:令t?(

)x,lnt? [ln(ax?bx)?ln2]

2 x

3 3limlnt?lim (axlna?bxlnb)? ln(ab)

3 3

x??0 x??0ax?bx 2 (变量替换)

?t?(ab)3/2

1

lim(cosx)ln(1?x2)

x??0

12 1

解:令t?(cosx)ln(1?x),lnt?

ln(1?x2)

ln(cosx)

limlnt?lim

tanx 1

?? ?t?e?1/2(变量替换)

x??0

x??0 2x 2

?x2

f(t)dt

6.设f(x)连续,f(0)?0,f(0)?0,求lim

x??0

(洛必达与微积分性质)

?ln(cosx)x?2,x?0

x2?x

00

0

?1

f(t)dt

7.已知f(x)?? 在x=0连续,求a

?a,x?0

解:令a?limln(cosx)/x2

x??0

??1/2 (连续性的概念)

三、补充习题(作业)

1?x?cos

1?x?cos x

x??0

??3 (洛必达)

limctgx( 1

1) (洛必达或Taylor)

x??0

sinx x

x?xe?t2dt

lim 0

?1 (洛必达与微积分性质)

x??01?e?x2

第二讲导数、微分及其应用

一、理论要求

导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导)会求平面曲线的切线与法线方程

微分中值定理

应用

理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题

会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图会计算曲率(半径)

二、题型与解法

导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导

?y?y(x)由? x?arctant 决定,求dy

?

?2y?ty2?et?5 dx

dy

y?y(x)由ln(x2

y)?x3y?sinx决定,求

dx

| ?1

x?0

曲线切法线问题

解:两边微分得x=0时y?ycosx?y,将x=0代入等式得y=1

y?y(x)由2xy?x?y决定,则dy| ?(ln2?1)dx

x?0

求对数螺线??e?在(?,?)?(e?/2,?/2)处切线的直角坐标方程。

??x

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