高等数学微分方程试题.docx

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专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 174

第十二章 微分方程

§12-1 微分方程的基本概念

一、判断题

y=ce2x(c的任意常数)是y?=2x的特解。 ( )

y=(y?)3是二阶微分方程。 ( )

微分方程的通解包含了所有特解。 ( )

若微分方程的解中含有任意常数,则这个解称为通解。 ( )

微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 ( )二、填空题

微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。

函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。

积分曲线y=(c+c x)e2x中满足 y

1 2

三、选择题

下列方程中 是常微分方程

d

y? 的曲线是 。

=0, =1x=0 x=0

=0, =1

?2a ?2a

(A)、x2+y2=a2

、y+

(earctanx)?0(C)、 +

dx ?x2

?y2

=0(D)、y?=x2+y2

下列方程中 是二阶微分方程

(A)(y?)+x2y?+x2=0 (B)(y?)2+3x2y=x3 (C) y?+3y?+y=0 (D)y?-y2=sinx

d2y

1.23.微分方程 +w2y=0的通解是 其中c.cc

1.2

dx2

(A)y=ccoswx (B)y=csinwx (C)y=c1coswx+c2sinwx (D)y=ccoswx+csinwx

24. C是任意常数,则微分方程y?=3y3的一个特解是

2

(A)y-=(x+2)3 (B)y=x3+1 (C)y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3

四、试求以下述函数为通解的微分方程。

y?Cx2

C2(其中C为任意常数)2.y?C

1

e2x

Ce3x(其中C,C

2 1 2

为任意常数)

五、质量为m的物体自液面上方高为h处由静止开始自由落下,已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体,在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 175

12-2 可分离变量的微分方程

一、求下列微分方程的通解

sec2.tacydx+sec2ytanxdy=0

2.(x+xy2)dx-(x2y+y)dy=0

(ex+y-ex)dx+(ex+y-ey)dy=0

y?=cos(x-y).(提示令.x-y=z)

二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解

?

1.cosydx+(1+e-x)sinydy=0.y x=0=4

专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 176

secx

2.1?y2

dy?xdx.y

3?

x?

2

??1

三、设f(x)=x+?xf(u)du,f(x)是可微函数,求f(x)

0

四、求一曲线的方程,曲线通过点(0.1),且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。

五、船从初速v0=6米/秒而开始运动,5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比,试求船速随时间变化的规律。

专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 177

12-3 齐次方程

一、求下列齐次方程的通解

1 xy?-xsiny?0 2(x+ycosy)dx-xcosydy=0

x x x

二求下列齐次方程满足所给初始条件的特解

dy

1.xy

ax

=x2+y2

y x=e=2e 2.x2dy+(xy-y2)dx=0y x=1=1

三、求方程:(x+y+1)dx=(x-y+1)dy的通解

四、设有连结点O(0,0)和A(1,1)一段向上凸的曲线孤O?A对于O?A上任一点P(x,y),曲线孤与O?P直线段O?P所围图形的面积为x2,求曲线孤O?A的方程。

专业 班级 学号 姓名 成绩 时间 178

12.4一阶线性微分方程

一、求下列微分方程的通解

1.xy?+y=xex 2.y?+ytanx=sin2x

3.y?+1y?

sinx

4.dy? y

x x dx x?y3ey

二、求下列微分方程满足初始条件的特解

1.y?

cosy+siny=x y

??

x?0 4

2.(2x+1)ey

y?2ey=4 y

?0

x?0

三、已知f(?),曲线积分?b

a

?sinx?f(x)?y

x

dx?f(x)dy与路径无关,求函数f(x).

四、质量为M0克的雨滴在下落过程中,由于不断蒸发,使雨滴的质量以每秒m克的速率减少,且所受空气阻力和下落速度成正比,若开始下落时雨滴速度为零,试求雨滴下落的速

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