2023-2024学年高二上学期期末模拟卷数学03（空间向量与立体几何等）（参考答案）.docxVIP

2023-2024学年高二上学期期末模拟考试03

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1

2

3

4

5

6

7

8

A

A

D

B

B

A

B

D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9

10

11

12

BC

BCD

ABD

AB

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．14．15．16．

四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

【解析】（1）依题意，抛物线C的焦点在直线上，则，解得，

所以C的方程为．

（2）由（1）知，抛物线C的准线方程为，设，，AB的中点为，

由消去y得，则，有，，即，

因此线段AB的中垂线方程为，即，

令，得，设所求圆的圆心为E，则，

又AB过C的焦点F，则有，

设所求圆的半径为r，则，

故所求圆的方程为．

18．（12分）

【解析】（1）设等差数列公差为，由已知，

所以，解得，则，

所以公差，所以.

（2）由题意可得，

所以

.

19．（12分）

【解析】1）连接AN并延长交BC于E，连接PE，

，即

，

，即，

，

，

又，故E为BC中点，

又在正四棱锥中PA=AB，则，

，即PE⊥AD，

；

（2）由（1）得，且面PBC，面PBC，

平面PBC，

故直线MN到平面PBC的距离即为点N到平面PBC的距离，设为

，

，

点P到面ABCD的距离，

由，得，

，

得.

20．（12分）

【解析】（1）因为，为的中点，所以．

在矩形中，，分别是，的中点，所以．

又，，平面，所以平面．

又平面，所以平面平面．

（2）在平面中，过作，为垂足．

因为平面平面ABCD，平面平面，

平面，所以平面．

过作的平行线，交于点，则，，，

以为坐标原点，以，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

所以，，，．

设平面EFCD的一个法向量为，则，所以，

取，解得，所以，

同理可得平面的一个法向量为．

设平面与平面夹角为．则，

所以平面与平面夹角的余弦值为．

21．（12分）

【解析】（1）因为，所以当时，得，

两式作差得，当时，，即时，．

又，，得，解得，所以，

所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以．

设等差数列的公差为d，因为是，的等差中项，所以，

又，所以，解得，

所以，

故，．

（2）由（1）知，①

，②

①②，得．

所以．

所以，即．

22．（12分）

【解析】（1）因椭圆：的离心率为，则，即，

又点在上，则有，联立解得，

所以椭圆的方程为.

（2）因直线不过原点且不平行于坐标轴，则设直线：，，，

将代入得，

，即，，

于是得，，

因此，直线的斜率，则有，

所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.