蝴蝶定理的八种证明及三种推广.docx

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蝴蝶定理的证明

定理：

设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点E和F，

则M是EF的中点。

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！

证法1 如图2，作OU?AD，OV?BC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于

?EUO??EMO?90? ?FVO??FMO?90?

得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。则?AUM=?EOM，?MOF??MVC

又 MAD MCB，U、V为AD、BC的中点，从而?MUA ?MVC，?AUM??MVC

则?EOM??MOF，于是ME=MF。

证法2 过D作关于直线OM的对称点D，如图3所示，则 ?FMD??EMD，MD=MD

ACP

A

C

P

E

F Q

U M

V

O

B

联结DM交圆O于C，则C与C关于OM对称，即

PC?CQ。又

（ （ = BC=D?CFP=1 QB+PC）=1 QB+CC+CQ）1 ?BDC

（ （ = BC=

D

2 2 2

故M、F、B、D四点共圆，即?MBF??MDF

而 ?MBF??EDM ○2 图2

CCAPEF QMOBDD由○1、○2知，?DME

C

C

A

P

E

F Q

M

O

B

D

D

证法3 如图4，设直线DA与BC交于点N。对?NEF及截线AMB，

?NEF及截线CMD分别应用梅涅劳斯定理，有

FM?EA?NB

?1，FM?ED

NC?1

ME AN BF ME DN CF

由上述两式相乘，并注意到

NACPEFQMOBNA?ND

N

A

C

P

E

FQ

M

O

B

FM2

得

ME2

?AN?ND?BF?CF?BF?CFAE ED BN CN AE?ED

?PM+MF

??

??MQ-MF?

?PM2?MF2

PM-ME??MQ+ME? PM2?ME2 D

化简上式后得ME=MF。[2]

2不使用辅助线的证明方法 图4

单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。

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证法4 （Steven给出）如图5，并令

?

DAB=

?

DCB

?

?

?

ADC=

?

ABC

?

?

?

DMP=

?

CMQ

?

?

?

AMP=

?

BMQ

?

?

ACαPEδαγMδγ

A

C

α

P

E

δ

α

γMδ

γ

FQ

β

O

β

B

ME ? x，MF ? y

S

?AME

S?FCM

S?EDM

S?FMB?1

由S

?FCM

S

?EDM

S

?FMB

S 即 图5

?AME ，

AM?AE?sin??FM?CM?sin??ED?MD?sin??MF?MB?sin??1

MC?CF?sin? EM?MD?sin? FB?BM?sin? MA?ME?sin?

化简得

MF2?

CF?FB

?QF?FP

?a?y??a?y?

? ?

a2?y2

ME2

AE?ED PE?EQ ?a?x??a?x? a2?x2

即 y2

x2

?a2?y2

a2?x2

从而x?y,ME?MF。

，

证法5 令?PMD??QMC??，?QMB??AMP??，以点M为视点，对?MBC和?MAD

分别应用张角定理，有

sin????? sin? sin? sin????? sin? sin?

? ? ， ? ?

MF MC MB ME MD MA

上述两式相减，得

sin?????? 1 ?

1 ??

sin?

?MC?MD??

sin?

?MB?MA?

? ??MF ME

? ?

MC?MD MA?MB

2yA1CP2EFMQ2D1

2

y

A

1

C

P

2

E

F

M

Q

2

D

1

O

2

B

3

图6

4

MB?MA

?2MH

?2OMcos

?90

????

2OMsin?

MD?MC?2MG?2OMcos?90?????2OMsin?

? ??? ??? 1 1 ? ? ? sin????

? ?

于是 sin

? ?MF?ME??0 而 ?

，

?180?，知 0，

故ME=MF