高考数学常见难题大盘点立体几何.docx

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2013高考数学常见难题大盘点：立体几何

如图,在直三棱柱ABC－ABC中，AC＝3，BC＝4，AA＝4，点D是AB的中点， （I）求

111 1

证：AC⊥BC； （II）求证：AC//平面CDB；

1 1 1

解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.

答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－ABC，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，

111

∴AC⊥BC，且BC

1

在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC；

1

（II）设CB与CB的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC

的中点，

1 1 1

∴DE//AC，∵DE?平面CDB，AC?平面CDB，

1 1 1 1

∴AC//平面CDB；

1 1

zCBAECByxA111解法二：∵直三棱柱ABC－

z

C

B

A

E

C

B

y

x

A

1

1

1

BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、CC两两垂直，如图，以C

1

为坐标原点，直线CA、CB、CC分别为x轴、y轴、z轴，

1

建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C

1

3

2（0,0，4），B（0,4，0），B（0,4，4），D（ ，2,0）

2

1

（1）∵AC＝（－3,0，0），BC

1

＝（0，－4,0），

∴AC?BC

1

＝0，∴AC⊥BC.

1

1113

1

1

1

设CB

与CB的交战为E，则E（0,2，2）.∵DE＝（－2，0,2），AC

＝（－3,0，

4）

4），∴DE?2AC

1

1

，∴DE∥AC.

1

点评：2．平行问题的转化：

转化

转化

面面平行

线面平行

线线平行；

如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB?AD，CD?AD，PA?底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。

求证：BM∥平面PAD；

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在侧面PAD内找一点N，使MN?平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。

答案：（1

答案：（1）?M是PC的中点，取PD的中点E，则

ME

1

CD，又AB

2

1

CD

2

?四边形ABME为平行四边形

?BM∥EA，BM?平面PAD

EA?平面PAD

?BM∥平面PAD （4分）

以A为原点，以AB、AD、AP 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则B?1,0,0)?，C?2,2,0?，D?0,2,0?，P?0,0,2?，M?1,1,1?，E?0,1,1?

在平面

内设N?0,y,z?，

??? ?

?，??? ? ?，

PAD

MN?

?1,y?1,z?1

PB?

1,0,?2

?DB ?1,?2,0? 由 ? ? ? ??1?2z?2?0 ?z?

?

MN PB MNPB??? ??? ??? ??? ???

MN PB MNPB

由MN?DB ?MN?DB??1?2y?2?0 ?y?1

???

??? ??? ??????

? 1 1??N?0, , ??N是AE的中点，此时MN?

? 1 1?

? 2 2?

设直线PC与平面PBD所成的角为?

2

（8分）

???

??2,2,?2?

???

???1,?1,?1?

P??C?,M??N? ?

PC ，MN ?

?

?，设 为

2 2?

cos??

? ?2 ?? 22 3? 6 3

PC?MN

PC?MN

??? ???

??????

PCMN

sin