国际数学奥林匹克竞赛试题.docx

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第38届）

在坐标平面上，具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的顶点．这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色（像棋盘一样）．对于任意一对正整数m和n，考虑一个直角三角形其顶点具有整数坐标，两腰长分别为m和n，且其两腰都在这些正方格的边上．设

S1为这个三角形区域中所有黑色部分的总面积，S2则为所有白色部分的总面积．令f(m，n)=|S1-S2|，

a.当m，n同为正偶数或者同为正奇数时，计算f(m，n)；

b.求证f(m，n)≤max(m，n)/2对所有m，n都成立；

c.求证不存在常量C使得f(m，n)．

设∠A是△ABC中最小的內角．B和C将此三角形的外接圆分成两个弧．U为落在不含A点的弧上且异于B，C的一点．线段AB，AC的垂直平分线分别交AU于V，W．直线BV，CW相交于T，

求证：AU＝TB＋TC．

3.x，x，...，x是正实数满足|x+x+...x|=1且对所有i有|x|≤(n+1)/2．

1 2 n 1 2 n i

试证明存在x，x，...，x的一个排列y，y，...，y满足

1 2 n 1 2 n

|y1+2y2+...+nyn|≤(n+1)/2．

一个n×n的矩阵称为一个n阶“银矩阵”，如果它的元素取自集合S={1，2，...，2n-1}且对于每一个i=1，2，...，n，它的第i列与第i行中的所有元素合起来恰好是S中的所有元素．求证：

o a.不存在n=1997阶的银矩阵；

b.有无限多个n，存在n阶银矩阵．

试找出所有的正整数对(a，b)满足

对每个正整数n，将n表示成2的非负整数次方之和，令f(n)为正整数n的上述不同表示法的个数．如果俩个表示法的差别仅在于他们中各个数相加的次序不同，这两个表示法就被视为是相同的．例如，f(4)=4，因为4恰有下列四种不同的表示法：4;2+2;2+1+1;1+1+1+1．

求证：对于任意整数n≥3， 2n2/4?f(2n)?2n2/2