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(高手必备)高考导数大题中最常用的放缩大法
相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟,将复杂的函数求导,再对导函数求导,再求导,然后就没有然后了 如果懂得了最常见的放缩,如:人教版课本中常用的
结论
x⑴sinx?x,x?(0,?),变形即为sinx?1,其几何意义为y?sinx,x?(0,?)上的的点与
x
原点连线斜率小于1.
⑵ex?x?1⑶x?ln(x?1)⑷lnx?x?ex,x?0.
将这些不等式简单变形如下:
1 1
1? ?lnx?x?1,ex?x?1,ex?ex,lnx?? 那么很多问题将迎刃而解。
x ex
例析:(2018年广州一模)设f(x)?ax?lnx?1,若对任意的x?0,f(x)?x?e2x恒成立,求
a的取值范围。
放缩法:由ex
?x?1可得:
e2x
?lnx?1?xex?(lnx?1)?e2x?lnx?(lnx?1)?2x?lnx?1?(lnx?1)?2
x x x x
高考中最常见的放缩法可总结如下,供大家参考。第一组:对数放缩
(放缩成一次函数)lnx?x?1,lnx?x,ln?1?x??x
(放缩成双撇函数)lnx?1?x?1??x?1?,lnx?1?x?1??0?x?1?,
lnx?
? ?
2x2x? ?
2
x
2
x
xxx? 1 ?x?1?,lnx? ?
x
x
x
? ?
? ?
x1 ?0?x?1?,
x
(放缩成二次函数) lnx?x2?x , ln?1?x??x?1x2??1?x?0? ,
2
ln?1?x??x?1x2?x?0?
2
(放缩成类反比例函数)lnx?1?1,lnx?
2?x?1??x?1?,lnx?
2?x?1??0?x?1?,
x x?1 x?1
ln?1?x?? x ,ln?1?x?? 2x?x?0?,ln?1?x?? 2x?x?0?
1?x 1?x 1?x
第二组:指数放缩
?(放缩成一次函数)ex?x?1,ex?x,ex?ex,
?
1
(放缩成类反比例函数)ex?1?x
?x?0
?,ex??
1x
1
x?0?,
1
(放缩成二次函数)ex?1?x?2x2
第三组:指对放缩
ex?lnx??x?1???x?1??2
?x?0?
1 1
,ex?1?x?2x2?6x3,
第四组:三角函数放缩
.sinx?x?tanx?x?0?,sinx?x?1x2,1?1x2?cosx?1?1sin2x
.
2 2 2
第五组:以直线y?x?1为切线的函数
1
y?lnx,y?ex?1?1,y?x2?x,y?1? ,y?xlnx.
x
拓展阅读:为何高考中总是考ex和
拓展阅读:为何高考中总是考ex和lnx这些超越函数呢?因为高考命题专家是大学老师,
他们站在高观点下看高中数学,一览无遗。作为学生没有多大必要去去了解大学的知识,但
是作为老师却是有很大的必要去理解感悟高考题命题的背景。超越函数本质上就是高等数学
中的泰勒公式。即从某个点x0处,我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中
的值,如果这个点是0,就是形式比较简单的麦克劳林级数。简而言之,它的功能就是把超
越式近似表示为幂函数。常见的幂级数展示式有:
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