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初三数学相似三角形专题(分层适用)
一、圆中相似三角形的判定
例1.如图,△ABC内接于⊙O,AD是△ABC的边BC上的高,AE是⊙O的直径,连接BE,△ABE与△ADC相似吗?请证明你的结论.
例2、如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线分别交⊙O,BC于点D,E,连结
BD.根据题意,找出图中各对相似三角形,并加以证明.
变式:1.如图,直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A,B点,弦AC∥PM,连接OM、BC.
求证:(1)△ABC∽△POM;(2)2OA2=OP?BC.
如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC与E,交BC与D.求证:
(1)D是BC的中点;(2)△BEC∽△ADC;
(3)BC2=2AB·CE
二、利用圆中相似三角形证明圆中的比例线段
例3.如图,在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA
例3.如图,在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA的外角的平分线,F为
上
求证:△ABD为等腰三角形.
求证:AC?AF=DF?FE.
变式:如图,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4.
求证:△ABE∽△ADB;
求AB的长;
延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系,并说明理由.
三、利用圆中相似进行计算
例4、如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
求证:PC是⊙O的切线;
求证:AB=2BC;
点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.
变式1:如图,已知Rt△ABC,∠ABC=90°,以直角边AB为直径作O,交斜边AC于点D,连结BD.
若AD=3,BD=4,求边BC的长;
取BC的中点E,连结ED,试证明ED与⊙O相切.
DO
D
O·
B E C
变式2:如图,在锐角△ABC中,AC是最短边;以AC中点O为圆心, AC长为(1)求证:D是的中点;半径作⊙O,交
变式2:如图,在锐角△ABC中,AC是最短边;以AC中点O为圆心, AC长为
(1)求证:D是
的中点;
求证:∠DAO=∠B+∠BAD;
若S△CEF 1,且AC=4,求CF的长.
S 2
△OCD
四、圆的有关线段与相似三角形的综合运用
例5、如图,点P为△ABC的内心,延长AP交△ABC的外接圆于D,在AC延长
线上有一点E,满足AD2=AB·AE,求证:DE是⊙O的切线.
变式1:如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D.
五、巩固练习,当堂反馈1.正方形ABCD的边长为1,M、N分别是BC、CD上两个动点,且始终保持AM⊥MN,当BM=时,四边形ABCN的面积最大,最大面积为.求证:(1
五、巩固练习,当堂反馈
1.正方形ABCD的边长为1,M、N分别是BC、CD上两个动
点,且始终保持AM⊥MN,当BM=
时,四边形ABCN
的面积最大,最大面积为
.
第1题2.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽
△EAD.
已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:
△ADM∽△MCP.
已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.
如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.
如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE.
(1)求证:∠CBE=36°;(2)求证:AE2 ACgEC.
如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以
2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.
正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC
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