初三数学相似三角形专题练习.docx

初三数学相似三角形专题（分层适用）

一、圆中相似三角形的判定

例1．如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．

例2、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线分别交⊙O，BC于点D，E，连结

BD．根据题意，找出图中各对相似三角形，并加以证明．

变式：1．如图，直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O于A，B点，弦AC∥PM，连接OM、BC.

求证：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA2＝OP?BC．

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：

（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC；

（3）BC2=2AB·CE

二、利用圆中相似三角形证明圆中的比例线段

例3．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA

例3．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为

上

求证：△ABD为等腰三角形．

求证：AC?AF＝DF?FE．

变式：如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4．

求证：△ABE∽△ADB；

求AB的长；

延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由.

三、利用圆中相似进行计算

例4、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

求证：PC是⊙O的切线；

求证：AB=2BC；

点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

变式1：如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．

若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；

取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切．

DO

D

O·

B E C

变式2：如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心， AC长为（1）求证：D是的中点；半径作⊙O，交

变式2：如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心， AC长为

（1）求证：D是

的中点；

求证：∠DAO=∠B+∠BAD；

若S△CEF 1，且AC=4，求CF的长.

S 2

△OCD

四、圆的有关线段与相似三角形的综合运用

例5、如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长

线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.

变式1：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．

五、巩固练习，当堂反馈1．正方形ABCD的边长为1，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为．求证：（1

五、巩固练习，当堂反馈

1．正方形ABCD的边长为1，M、N分别是BC、CD上两个动

点，且始终保持AM⊥MN，当BM=

时，四边形ABCN

的面积最大，最大面积为

．

第1题2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽

△EAD．

已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：

△ADM∽△MCP．

已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．

如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A＝36°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE．

（1）求证：∠CBE=36°；（2）求证：AE2 ACgEC．

如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以

2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．

正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC