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第四章 常微分方程
§4.1 基本概念和一阶微分方程
甲 内容要点
一.基本概念
常微分方程
含有自变量、未知函数和未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程,若未知函数是一元函数则称为常微分方程,而未知函数是多元函数则称为偏微分方程,我们只讨论常微分方程,故简称为微分方程,有时还简称为方程。
微分方程的阶
微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶
微分方程的解、通解和特解
满足微分方程的函数称为微分方程的解;
通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解;通解有时也称为一般解但不一定是全部解;
不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。
微分方程的初始条件
要求自变量取某定值时,对应函数与各阶导数取指定的值,这种条件称为初始条件,满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。
积分曲线和积分曲线族
微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线;而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。
线性微分方程
如果未知函数和它的各阶导数都是一次项,而且它们的系数只是自变量的函数或常数,则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项,自由项为零的线性方程称为线性齐次方程;自由项不为零的方程为线性非齐次方程。
二.变量可分离方程及其推广
变量可分离的方程
方程形式:dy?P?x?Q?y?
dx
?Q?y??0?
通解?
dyQ?y?
??P?x?dx?C
(注:在微分方程求解中,习惯地把不定积分只求出它的一个原函数,而任意常数另外再加)
方程形式:M?x?N?y?dx?M ?x?N?y?dy?0
1 1 2 2
通解?M
?x?
?N?y?
? ??
?? ?
M1?x
2
?dx?
N2?y
1
?dy?C
M x ?0,N y ?0
2 1
变量可分离方程的推广形式
dy
(1)齐次方程
?f?y?
? ?令y?u,
? ?
x
dx ?x?
则dy?u?xdu
?f?u?
dx dx
? du
??dx
c?ln|x|?c
f?u??u x
(2)dy?f?ax?by?c??a?0,b?0?
dx
令ax?by?c?u,
则du?a?bf?u?dx
?du????dx?x?c
?
a?bfu
dy ?ax?by?c ?
(3)
dx
?f? 1 1 1?
?ax?by?c ?
2 2 2
a b
?ax?b
y?c ?0 ? ?
①当?? 1
a
2
1?0情形,先求出?1
?b a
?
2 2
1
x?b
2
1
y?c
2
?0的解
?,?
令u?x??,v?y??
?a ?bv?
dv ?au?bv?
? ?
1 1u
? ?则 ?f? 1 1 ??f
? ?
?属于齐次方程情形
?v
?
?du au?bv
?
2 2
?a ?b ?
? 2 2u?
1②当??a
1
a
2
b ?0情形,
1b
1
2
令a2?b2??
a b
1 1
dy ? a
x?by?c ?
?则 ?f???1
?
1 ? 1 ?
dx ?
ax?by?c
1 1 2
令u?a
1
x?by,
11
1
du dy
?u?c ?
则 ?adx 1
b ?a
1dx 1
bf?
1 ?
u?c ?
??2
?
?
属于变量可分离方程情形。三.一阶线性方程及其推广1.一阶线性齐次方程
dy?P?x?y?0
dx
它也是变量可分离方程,通解公式y?Ce??P?x?dx,(c为任意常数)
一阶线性非齐次方程
dy?P?x?y?Q?x?
dx
用常数变易法可求出通解公式令y?C?x?e??P?x?dx
?代入方程求出C?x?
?
?? ?? ?? ?
则得y?e??P
xdx?Q
xe?P
xdxdx?C
贝努利方程
dy?P?x?y?Q?x?y????0,1?
dx
令z?y1??
把原方程化为dz??1???P?x?z??1???Q?x?
dx
再按照一阶线性非齐次方程求解。
方程:dy??1
dx Q?y??P?y?x
可化为dx?P?y?
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