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《高等数学》
专业 年级 学号 姓名
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.(每题2分,共20分)
( )1.收敛的数列必有界.
( )2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.
( )3.闭区间上的间断函数必无界.
( )4.单调函数的导函数也是单调函数.
( )5.若f(x)在x点可导,则f(x)也在x点可导.
0 0
( )6.若连续函数y?f(x)在x点不可导,则曲线y?f(x)在(x,f(x))点没有切
0 0 0
线.
( )7.若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上连续.
( )8.若z?f(x,y)在(x,y)处的两个一阶偏导数存在,则函数z?f(x,y)在
0 0
(x,y)处可微.
0 0
( )9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.
( )10.设偶函数f(x)在区间(?1,1)内具有二阶导数,且 f?(0)?f?(0)?1,则
f(0)为f(x)的一个极小值.
二、填空题.(每题2分,共20分)
1.设f(x?1)?x2,则f(x?1)? .
1
2.若f(x)?2x
1
2x
?1,则lim? .
?1 x?0?
3. 设单调可微函数f(x)的反函数为g(x), f(1)?3,f?(1)?2,f?(3)?6则
g?(3)? .
设u?xy?x,则du? .
y
1
曲线x2?6y?y3在(?2, 2)点切线的斜率为 .
6.设f(x)为可导函数,f?(1)?1,F(x)?f(1
x
)?f(x2),则F?(1)? .
7.若?f(x)t2dt?x2(1?x),则f(2)? .
0
8. f(x)?x?2
广义积分???
0
在[0,4]上的最大值为 .
xe?2xdx? .
x
设D为圆形区域x2?y2?1,?? y 1?x5dxdy? .
D
三、计算题(每题5分,共40分)
1.计算lim(1?
n??n2
1
(n?1)2
??? 1 ).
(2n)2
2.求y?(x?1)(x?2)2(x?3)3??(x?10)10在(0,+?)内的导数.
求不定积分??1
x(1?x)
dx.
计算定积分??
0
sin3
x?sin5xdx.
求函数f(x,y)?x3?4x2?2xy?y2的极值.
设平面区域D是由y? x,y?x围成,计算?? sinydxdy.
y
D
计算由曲线xy?1,xy?2,y?x,y? 3x围成的平面图形在第一象限的面积.
求微分方程y??y?2x的通解.
y
四、证明题(每题10分,共20分)
1?x2证明:arctanx
1?x2
(???x???).
2
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(x)?0,
F(x)??x
0
f(t)dt??x 1 dt
b f(t)
证明:方程F(x)?0在区间(a,b)内有且仅有一个实根.
《高等数学》参考答案
一、判断题.将√或×填入相应的括号内(每题2分,共20分)
1.√;2.×;3.×;4.×;5.×;6.×;7.×;8.×;9.√;10.√.
二、填空题.(每题2分,共20分)
1.x2?4x?4; 2. 1; 3. 1/2; 4.(y?1/y)dx?(x?x/y2)dy;
3365. 2/3; 6.1; 7. ; 8. 8; 9. 1/2;
336
三、计算题(每题5分,共40分)
n?1
解:因为
(2n)2
?1? 1
n2 (n?1)2
?L? 1 ?
(2n)2
n?1n2
且 limn?1
n??(2n)2
?0,limn?1=0
n?? n2
由迫敛性定理知:lim(1
n??n2
? 1
(n?1)2
??? 1(2n)2
)=0
2.解:先求对数lny?ln
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