二次函数的图像和性质.pptx

二次函数的图像和性质

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稻壳学院

汇报人：XX

目录

01

二次函数的图像

03

二次函数的表达式

05

二次函数的变种

02

二次函数的性质

04

二次函数的应用

二次函数的图像

01

开口方向

向上开口：当二次项系数大于0时

向下开口：当二次项系数小于0时

特殊情况：当二次项系数等于0时，函数退化为一次函数

判断方法：根据二次项系数的正负来判断

顶点坐标

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顶点形式：$(h,k)$

顶点公式：$-\frac{b}{2a}$

顶点与对称轴：对称轴为直线$x=h$

顶点与最值：函数取得最大值或最小值

对称轴

二次函数的图像是抛物线，具有对称性

对称轴是抛物线的垂直平分线，即x=h(h为常数)

当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x=h；当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x=h

对称轴上的点是抛物线的顶点，其坐标为(h,k)，其中k为常数

与坐标轴的交点

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二次函数与y轴的交点：当x=0时，y的值即为交点的纵坐标

二次函数与x轴的交点：通过求解二次方程得到

交点的性质：与x轴的交点是函数的零点，与y轴的交点是常数项

判别式与交点：判别式大于0时，函数与x轴有两个交点；判别式等于0时，有一个交点；判别式小于0时，没有交点

二次函数的性质

02

开口大小

二次函数的开口大小取决于二次项系数a的正负

顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，是判断开口大小的参考点

a的绝对值越大，开口越小；a的绝对值越小，开口越大

a0时，开口向上；a0时，开口向下

单调性

二次函数的开口方向由系数a决定，a0时开口向上，a0时开口向下

二次函数的对称轴为x=-b/2a

二次函数的最值在对称轴上取得，即x=-b/2a时，函数取得最大值或最小值

二次函数在区间(-∞,-b/2a)上单调递增，在区间(-b/2a,+∞)上单调递减

最值

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二次函数的最值是最大值或最小值

二次函数的最值点是其顶点

二次函数的最值出现在顶点处

二次函数的最值可以通过配方法或顶点式计算得出

奇偶性

二次函数f(x)是偶函数，满足f(-x)=f(x)的性质。

二次函数f(x)是周期函数，具有固定的周期。

二次函数f(x)在定义域内是连续的，即没有间断点。

二次函数f(x)的导数存在，表示函数在定义域内可微。

二次函数的表达式

03

一般式

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

a的符号决定了抛物线的开口方向，当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。

b和c决定了抛物线的位置，b和c的值越大，抛物线越偏离x轴和y轴。

二次函数的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。

顶点式

表达式：y=a(x-h)^2+k

顶点坐标：(h,k)

开口方向：由a的符号决定

开口大小：由a的绝对值决定

交点式

应用：在求解二次函数与x轴交点坐标时使用

表达式：$y=a(x-x_1)(x-x_2)$

特点：通过二次函数的两个交点坐标确定函数表达式

注意事项：在使用交点式时，需要确保$a\neq0$

参数a的取值对函数图像的影响

当a0时，抛物线的开口向上

当a0时，抛物线的开口向下

a的绝对值越大，抛物线的开口越窄

a的绝对值越小，抛物线的开口越宽

二次函数的应用

04

解决实际问题

二次函数在金融领域的应用，如计算复利、未来价值等。

二次函数在物理学中的应用，如计算物体运动轨迹、抛物线等。

二次函数在经济学中的应用，如分析供需关系、预测市场趋势等。

二次函数在日常生活中的应用，如解决最优化问题、规划资源分配等。

在数学其他领域的应用

物理学：描述物体运动轨迹、振动和波动等

经济学：分析商品价格与市场需求的关系，预测经济趋势

工程学：用于解决最优问题，例如桥梁和建筑结构的稳定性分析

统计学：用于数据分析和建模，例如回归分析和预测模型

在物理和工程中的应用

抛物线运动：描述物体在垂直方向上的运动轨迹

桥梁设计：利用二次函数计算桥梁的最佳形状和承重能力

电路分析：描述电流与电压之间的关系

建筑结构分析：利用二次函数分析建筑结构的稳定性

二次函数的变种

05

形式变换

二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c

顶点式：y=a(x-h)^2+k

交点式：y=a(x-x1)(x-x2)

完全平方形式：y=(x-h)^2+k

系数变化对图像的影响

当二次函数的二次项系数大于0时，抛物线的开口向上

二次函数的最值点为顶点，系数变化会影响顶点的位置

二次函数的对称轴为x=-b/2a，系数变化会影响对称轴的位置

当二次函数的二次项系数小于0时，抛物线的开口向下

与其他函数的结合

二次函数与一次函数的结合

二次函数