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2023-2024学年江苏省姜堰区蒋垛中学高三数学第一学期期末考试试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设为等差数列的前项和,若,,则的最小值为()
A. B. C. D.
2.要得到函数的图像,只需把函数的图像()
A.向左平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向右平移个单位
3.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a–1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是
A. B.
C. D.
4.下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象()
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
5.若的二项式展开式中二项式系数的和为32,则正整数的值为()
A.7 B.6 C.5 D.4
6.“完全数”是一些特殊的自然数,它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128现将这五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28不在同一组的概率为()
A. B. C. D.
7.已知为虚数单位,若复数,,则
A. B.
C. D.
8.已知平面向量,,,则实数x的值等于()
A.6 B.1 C. D.
9.若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象,则下列说法正确的是()
A.函数在上单调递增 B.函数的周期是
C.函数的图象关于点对称 D.函数在上最大值是1
10.直角坐标系中,双曲线()与抛物线相交于、两点,若△是等边三角形,则该双曲线的离心率()
A. B. C. D.
11.以下三个命题:①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,判断“与有关系”的把握越大;其中真命题的个数为()
A.3 B.2 C.1 D.0
12.在平面直角坐标系中,已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边落在直线上,则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在直角坐标系中,某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为,函数的图象经过该三角形的三个顶点,则的解析式为___________.
14.已知等比数列满足公比,为其前项和,,,构成等差数列,则_______.
15.已知数列的各项均为正数,记为的前n项和,若,,则________.
16.已知两圆相交于两点,,若两圆圆心都在直线上,则的值是________________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知椭圆的离心率为,且以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知动直线l过右焦点F,且与椭圆C交于A、B两点,已知Q点坐标为,求的值.
18.(12分)已知函数,.
(1)若不等式对恒成立,求的最小值;
(2)证明:.
(3)设方程的实根为.令若存在,,,使得,证明:.
19.(12分)已知函数,.
(1)若对于任意实数,恒成立,求实数的范围;
(2)当时,是否存在实数,使曲线:在点处的切线与轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
20.(12分)如图,四棱锥中,四边形是矩形,,,为正三角形,且平面平面,、分别为、的中点.
(1)证明:平面;
(2)求几何体的体积.
21.(12分)已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数在上的值域;
(Ⅱ)若函数在上单调递减,求实数的取值范围.
22.(10分)已知函数存在一个极大值点和一个极小值点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若函数的极大值点和极小值点分别为和,且,求实数a的取值范围.(e是自然对数的底数)
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据已知条件求得等差数列的通项公式,判断出最小时的值,由此求得的最小值.
【详解】
依题意,解得,所以.由解得,所以前项和中,前项的和最小,且.
故选:C
【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的
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