弹塑性力学-第4章_本构方程.pdf

第四章本构方程

第四章本构方程

在前面的章节中，已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从

静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。但是只有这些方程还不

足以解决变形体内的应力和变形问题。对于变形体，未知变量包括6个应力分量，

6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一

共是9个，未知函数的个数多于方程数。因此还必须研究物体的物理性质，即应

力与应变之间的关系。通常称这种关系为变形体的本构方程，或称为物性方程。

塑性本构包括三个方面：1、屈服条件，2、流动法则，3、硬化关系；其中屈

服条件：判断何时达到屈服，流动法则：屈服后塑性应变增量的方向，也即各分

量的比值，硬化规律：决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小。以上构成

塑性本构关系。

4.1弹性应变能函数

变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变—位移方程(即变形几何方

程)还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的材料抵抗各种形

式变形的规律。该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子

力力图使固体粒子间保持—定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量

有深入的认识。这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹

性体情况，目前科学技术发展水平还不能解决这一难题。如要通过实验探求物

内部的应力和应变的关系，则总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，

这些量并非应力或应变的分量(例如平均应变、体积压缩、物体表面一线元的伸长

等等)．因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。然而该关系中的

某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力-应变关系的

理论研究提供了基础。

1.1应变能密度

假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假

设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终

变形状态的转换方式无关。这个条件是弹性的另一种定义。换句话说，就是假设

物体粒子互相作用过程中的耗散(非保守)力的作用与保守力的作用相比是可以忽

略的。满足这个假设的物体在卸载后一定回到其初始尺寸和形状，也就是说该物

体是理想弹性的。

65

第四章本构方程

dV

在上述条件下，使弹性体的未变形微元变形所需的功可表达为

dV

，即等于单元初始体积和6个应变分量的某个函数f

f(,,,,,)dV

xyzxyyzzx

的乘积。该函数称为物体的应变能函数或应变能密度。它依赖于材料的物理特性，

但与物体的形状和尺寸无关。应该注意到应变能函数仅依赖于6个应变分量，和

刚体运动无关。

另一方面，应变分量可以用三个主应变分量()和对于应变主轴

ij1,2,3

(X,Y,Z)的方向余弦(l,m,n)来表示，而且由于主轴相互正交，并且(l,m,n)是单位

矢量的分量，所以方向余弦可表示为三个独立角度()的函数。这样无穷小微

,,

dVW

无变形所需要的功为

(4.1-1)

Uf(1,2,3,,,)dV

从方程(4.1-1)可清楚地看出，使一体积元(就是说一平行六面体