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二次函数新题型

一．角度问题

1.如图：已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且．(1)求抛物线的解析式

(2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在一点E，使得？若存在，求点E的坐标，若不存在，说明理由．

(3)P为抛物线上一点且，求点P的坐标．

??

2.如图，抛物线交轴于，交轴于点，点在轴下方的抛物线上，且．(1)求点的横坐标；

(2)点为抛物线第一象限上一点，过点作轴的平行线分别交于点，若，求抛物线的解析式；

(3)在（2）的条件下，点为轴上一点，若，求点的坐标．

??

3.如图1，抛物线与x轴交于A、B两点且，与y轴交于点C．(1)求抛物线的对称轴和解析式；

(2)抛物线的对称轴上有一点M，连接，以M为旋转中心顺时针旋转后，点C的对应点恰好落在抛物线上，求点M坐标；

(3)如图2，点D是抛物线顶点，点P是抛物线上一点，连接交于H，当时，求点P的坐标．

??

4.如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．(1)求a的值．

(2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

??

二．交点对称问题

5.在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）与轴交于点和点B，与y轴交于点C．

(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点坐标．

(2)抛物线上有一点P，点P的横坐标为m．已知点，以为对角线构造矩形且矩形的边与坐标轴平行．当矩形与抛物线有3个交点时，直接写出m的取值范围．

如图，在平面直角坐标系，抛物线顶点坐标为，与直线交于点和点．

(1)直接写出点的坐标______；的形状为______；

(2)求抛物线的解析式，并求出点的坐标；

(3)如图2，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形与有重叠且重叠部分为轴对称图形时，直接写出的取值范围．

??

7.已知：如图，二次函数与x轴交于点和点．

??(1)求抛物线的解析式．

(2)当时，求二次函数的最大值和最小值．

(3)点P是抛物线上一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的纵坐标为，已知点P与点Q不重合，且线段的长度随m的增大而减小，当时，在线段的右边作正方形，直接写出正方形与二次函数的图象交点的个数及对应的m的取值范围．

8.抛物线经过点，与轴交于点，对称轴为，点是轴上一点，过点作垂直于轴的直线分别交抛物线和直线于点和点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若、、三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点的坐标；

(3)分别过点、向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点、，矩形与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作，的最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为，当时，求点的坐标．

9.在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．

??

(1)求点C，D的坐标；

(2)当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标；

(3)坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形．

①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标；

②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．

三．定值问题

10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点．

??

(1)二次函数图像的对称轴为直线．

①求二次函数的表达式；

②若点M与点C关于对称轴对称，则点M的坐标是________；

③在②的条件下，连接，在上任意取一点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图像交于点Q，求线段的最大值；

过点M作的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n，在点M运动的过程中，试问的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值．

11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C．(1)求二次函数解析式；

(2)如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标；

(3)如图2，平面上一点，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接、，分别交y轴于M、N两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

??

如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中），交轴于两点（点在点的左侧），交轴负半轴于点．

(1)求点的坐标；

(2)如图1，若在轴上方的抛物线上存在一点，使