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第80课时导数的应用

教学目标：明白得可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际咨询题(一样指单峰函数)的最大值和最小值.

〔一〕要紧知识及要紧方法：

利用导数研究多项式函数单调性的一样步骤:

求;确定在内符号;假设在上恒成立，那么在上是增函数；假设在上恒成立，那么在上是减函数

①为增函数〔为减函数〕.

②在区间上是增函数≥在上恒成立；

在区间上为减函数≤在上恒成立.

极大值：一样地，设函数在点邻近有定义，假如对邻近的所有的点，都有，就讲是函数的一个极大值，记作极大值，是极大值点.

极小值：一样地，设函数在邻近有定义，假如对邻近的所有的点，都有就讲是函数的一个极小值，记作极小值，是极小值点.

极大值与极小值统称为极值

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：

〔〕极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它邻近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

〔〕函数的极值不是唯独的即一个函数在某区间上或定义域内极xs大值或极小值能够不止一个.

〔〕极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如以下图所示，是极大值点，是极小值点，而.

〔〕函数的极值点一定显现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

当在点连续时，判不是极大、极小值的方法:

假设满足，且在的两侧的导数异号，那么是的极值点，是极值，同时假如在两侧满足〝左正右负〞，那么是的极大值点，是极大值；假如在两侧满足〝左负右正〞，那么是的极小值点，是极小值.

求可导函数的极值的步骤:

确定函数的定义区间，求导数求方程的根

用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么在那个根处取得极大值；假如左负右正，那么在那个根处取得极小值；假如左右不改变符号，那么在那个根处无极值.假如函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点.

函数的最大值和最小值:一样地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．

讲明：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；

函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点邻近函数值得出的．

函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．

函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.

利用导数求函数的最值步骤:

由上面函数的图象能够看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就能够得出函数的最值了．

设函数在上连续，在内可导，那么求在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；

将的各极值与、比较得出函数在上的最值p

求参数范畴的方法：①分离变量法；②构造〔差〕函数法.

构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原那么：变具体为抽象，变常量为变量，变主元为辅元，变分式为整式.

通过求导求函数不等式的差不多思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值〕为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探究.

〔二〕典例分析：

咨询题1．〔届云南平远一中五模〕函数在定义域内可导，其图象如下图，记的导函数为，那么不等式的解集为

，的反函数为，那么

〔大连一模〕设均是定义在上的奇函数，当时，

，且，那么不等式的解集是

咨询题2．假如函数在区间上单调递增，同时方程的根都在区间内，那么的取值范畴为

〔届高三浙江上虞市调研〕，那么

在区间上单调递增 在上单调递增

在上单调递增在上单调递增

函数，

〔Ⅰ〕求的单调区间和极值；

〔Ⅱ〕假设关于的方程有个不同实根，求实数的取值范畴.

〔Ⅲ〕当时，≥恒成立，求实数的取值范畴.

咨询题3．〔天津〕函数，其中．

〔Ⅰ〕当时，求曲线在点处的切线方程；

〔Ⅱ〕当时，求函数的单调区间与极值．

咨询题4．〔湖北〕定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．〔Ⅰ〕用表示，并求的最大值；〔Ⅱ〕求证：≥〔〕．

咨询题5．利用导数求和：

〔,〕.

〔〕.

〔三〕课后作业：

函数，那么方程在区间上的根有

个个个个

〔郑州一中等四校联考〕假设函数在上可导且满足不等式

恒成立，且常数满足，那么以下不等式一定成立的是

求满足