三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型（解析版）.docx

三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型

模型1、等腰三角形中的分类讨论模型

【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。

1）无图需分类讨论

①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；

③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。

2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：

即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰

方法：两圆一线

具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）

②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）

③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）

例1．（2023春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是，，若，满足，那么它的周长是（）

A．11 B．13 C．11或13 D．11或15

【答案】C

【分析】由已知等式，结合非负数的性质求、的值，再根据、分别作为等腰三角形的腰，分类求解．

【详解】解：，，，

，，解得：，，

当作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为：，

当作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为：，故选：C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求、的值，再根据或作为腰，分类求解．

例2．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且一边长是4cm，则它的腰长为（????）

A．4cm B．7cm C．4cm或7cm D．全不对

【答案】B

【分析】根据等腰三角形的定义，两腰相等，结合三角形的三边关系，进行求解即可．

【详解】解：当cm为腰长时，则底边长为cm，

∵，不符合题意；∴cm为底边长，∴等腰三角形的腰长为：；故选B．

【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．解题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，注意讨论时要根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形．

例3．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（）

A． B．或 C．或 D．

【答案】B

【分析】根据三角形的内角和为，进行分类讨论即可

【详解】解：①当底角为时，顶角，

②当顶角为时，顶角度数，综上：顶角度数为或；故选：B．

【点睛】本题考查了三角形的内角和为，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容．

例3．（2023·四川广安·八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（）

A． B． C．或 D．以上都不是

【答案】D

【分析】等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．

【详解】∵等腰三角形的一个外角等于，∴等腰三角形的一个内角为，

①当为顶角时，其他两角都为、，

②当为底角时，其他两角为、，所以等腰三角形的底角可以是，也可以是．故选：D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．

例4．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为．

【答案】或

【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．

【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，，，为高，即，

此时，∴，

若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即，

此时，综上，等腰三角形的顶角的度数为或．

故答案为：或．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论．

例5．（2023·山东滨州·八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰．

【详解】如图：分情况讨论：

①为等腰直角底边时，符合条件的格点C点有2个；

②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个．故共有5个点，故选：C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图