二次函数新题型训练教师版.docx

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二次函数新题型教师版

一．角度问题

1.如图：已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且．(1)求抛物线的解析式

(2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在一点E，使得？若存在，求点E的坐标，若不存在，说明理由．

(3)P为抛物线上一点且，求点P的坐标．

??

(1)(2)(3)或；

解：①以、为边作正方形，连接交于点M，

∵四边形是正方形，

∴，，

∵，，∴，

延长，使，在和中，

，∴，∴，，

∵，，

∴，

∴，即，

在和中，

，∴，∴，

设，则，，

在中，，解得，∴，

设直线的解析式为，把代入得，，

解得，∴直线的解析式为，

联立方程组得，，解得（舍），，∴，

??

②如图，取的中点G，连接交抛物线于点P，

∵点G是的中点，，∴，

在和中，，∴，

∴，，

∵，，

∴，∴，

，

设直线的解析式为，把代入得，，

解得，∴直线的解析式为，联立方程组得，，

解得（舍），，∴，

综上所述，点P的坐标为或；

2.如图，抛物线交轴于，交轴于点，点在轴下方的抛物线上，且．(1)求点的横坐标；

(2)点为抛物线第一象限上一点，过点作轴的平行线分别交于点，若，求抛物线的解析式；

(3)在（2）的条件下，点为轴上一点，若，求点的坐标．

??

【答案】(1)3(2)(3)

解：如图2，

，

点的横坐标为3，则点的横坐标为3，

，

是的中点，

点Q的横坐标为，

在中，当时，，

，设直线的解析式为：，将，代入，

得，解得，

直线的解析式为：，

，，点在直线上，

点纵坐标，

，，

点纵坐标，

点纵坐标，

，

点在抛物线上，

，解得：，

，

故所求抛物线的解析式为：；

（3）解：如图3，为轴上一点，，

，

由（2）可得：，

设，则，，，

，

以点为圆心，为半径作交轴于点，则有，

，即，

或2，当时，点与点重合，不符合题意，

，点坐标为：．

3.如图1，抛物线与x轴交于A、B两点且，与y轴交于点C．

??

(1)求抛物线的对称轴和解析式；

(2)抛物线的对称轴上有一点M，连接，以M为旋转中心顺时针旋转后，点C的对应点恰好落在抛物线上，求点M坐标；

(3)如图2，点D是抛物线顶点，点P是抛物线上一点，连接交于H，当时，求点P的坐标．

(1)抛物线对称轴为直线；抛物线解析式为

(2)或

(3)

4.如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．

??

(1)求a的值．

(2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)(2)存在，理由见详解

(3)存在点P，直线的解析式为或．

当点在直线下方时，

在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点，

??由（2）中结论，得，

，

，

，

，

设直线的解析式为，代入点，

得，解得，故直线的解析式为；

当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作交抛物线于点，

????

∴，

∴，

，，

，

设直线的解析式为，代入点，得，解得，

故设直线的解析式为，

，且过点,

故设直线的解析式为，∴，

解得，∴直线的解析式为．

综上所述：直线的解析式为或．

二．交点对称问题

5.在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）与轴交于点和点B，与y轴交于点C．

(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点坐标．

(2)抛物线上有一点P，点P的横坐标为m．已知点，以为对角线构造矩形且矩形的边与坐标轴平行．当矩形与抛物线有3个交点时，直接写出m的取值范围．

【答案】(1)，顶点

(2)①时，；时，；②或

由题意可得点P的坐标为，

，

当时，P为最高点，A为最低点，；

当时，顶点为最高点，A为最低点，；

综上所述，时，；时，；

②以为对角线的矩形的边与坐标轴平行，

，即且，

当时，矩形如图所示，

??矩形与抛物线有4个交点，不合题意；

当时，矩形如图所示，

??

矩形与抛物线有3个交点，符合题意；

当时，矩形如图所示，

??矩形与抛物线有2个交点，不合题意；

时，不存在矩形；

当时，矩形如图所示，

??矩形与抛物线有1个交点，不合题意；

当时，矩形如图所示，

??

矩形与抛物线有2个交点，不合题意；

当时，矩形如图所示，

??矩形与抛物线有3个交点，符合题意；

当时，矩形如图所示，

??矩形与抛物线有4个交点，不合题意；

综上所述，当或时，矩形与抛物线有3个交点；

故答案为：或

6.如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点．

??

(1)直接写出点的坐标______；的形状为______；

(