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学必求其心得，业必贵于专精
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2012届赣马高级中学高三数学附加题训练12
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
选修4—2：矩阵与变换
(2011南通三模)已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，
（1)求实数a的值;
(2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.
解:（1）由=，（2分）∴.（3分）
（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为
(5分）
令，得矩阵的特征值为与4。（6分）
当时，
∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为;(8分）
当时,
∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为.(10分)
选修4-4:坐标系与参数方程
（南京市、盐城市2012届一调)在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）,求直线被圆C截得的弦的长度。
解：圆C的方程化为，两边同乘以,得
由，得
其圆心坐标为，半径，又直线的普通方程为，
∴圆心到直线的距离，∴弦长
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第22题、若能被正整数整除,请写出的最大值，并给予证明．
答案要点：当时，，∴，
下证能被整除．
（1)当时已证;
（2）假设当时命题成立,即能被整除，则当时，
，而能被整除，为偶数,所以也能被整除.即当时命题也成立.
由(1）、(2)得的最大值为
第23题
(2011南通市第三次模拟)已知函数,，其中,
（1）若在处取得极值，求的值;
（2)若的最小值为，求的取值范围.
答案要点：（1），
因为在处取得极值，所以，即,解得
(2）,因为，，所以
①当时,,即在区间上单调递增，所以。
②当时,由解得,由解得，即在区间上单调递减增，在区间上单调递增，所以
.综上可知，若的最小值为，则的取值范围是。
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