数学基础讲义-第九章复数 .pdfVIP

第九章复数

复数是对实数域拓展得到的新的数域，然而复数其实并不算是全

新的概念，它与已经学习的实数和向量都有直接联系。

根据实数的运算进一步推广即可得到复数的性质和运算规律；复

数与向量在形式上具有诸多相同点并能建立起对应关系。

复数也具有显著的“数形结合”的特点，通过虚数单位将“数”与i

“形”更加直接地结合了起来。

高中阶段对复数的学习和考察的内容较为基本，可以将学习本章

当作对代数运算与向量知识的复习。

一、虚数与复数

从用于计数的自然数开始，先根据加法和减法拓展到整数，再根

据乘法和除法拓展到有理数，又根据乘方和开方拓展到实数，现在进

一步拓展到复数。

1.1实数与虚数

解一元二次方程时，根据各项系数可以判断方程根的情况。

对于一元二次方程2（）

axbxc0a0

2

配方得：b2b4ac

(x)

2a4a2

等式左边是完全平方数，恒大于等于，由此可得：

0

若2，则方程有个不同的实根。

b4ac02

若2，则方程有个相同的实根，或称只有个实根。

b4ac021

若2，则方程有没有实根。

b4ac0

为了令一元二次方程总是有解，现在规定根号内也可为负数，即：

|a|也有意义。将根号内为负数的整个表达式|a|叫作虚数。

现在只简单生硬地规定：根号内为负数的表达式|a|叫作虚数，

对于虚数的具体含义，接下来将根据该规定，结合具体运算进行推导。

数学基础讲义-1-

为方便地表示虚数，再引入一个新的单位：虚数单位，一般用符

号表示。其定义式为：i

i1

将实数的乘法运算作用于虚数单位，即可表示任意虚数i|a|。

任意虚数都可以用一个实数与虚数单位的乘积表示：i

|a||a|(1)|a|1|a|i

例如，22(1)212i

2525(1)25125i5i



(1)1i

根据虚数单位的定义i1，可得到关于的一系列运算规律：i

22

i(1)1

32

iii1ii

4242

i(i)(1)1

即：对于任意，都有：，，，

4k4k14k24k3

kZi1iii1ii

虚数的表示方式也适用于实数，只是通常被省略