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*取一个包含ΔS的上下底平行的高为Δh的扁平盒:由于Δh可以很小,因此,通过侧面的电通量忽略!于是由高斯公式有:而:第23页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*所以:说明:如果u1为导体的电势,u2是绝缘体电势,那么,因为导体是等势体,所以有:2、周期性条件在极坐标、柱面坐标和球坐标系的经度坐标中,实际物理量常满足周期性条件,即:第24页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三关于数理方程与特殊函数*第1页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*常用物理规律(二)1、热传导定律定义热流密度:第2页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*2、牛顿冷却定律单位时间内流过单位面积放出的热量为:3、比热公式第3页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*4、高斯定律第4页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*(一)、热传导方程截面积为A的均匀细杆,侧面绝热,沿杆长方向有温差,求杆内温度的变化规律。(1)、细杆的热传导问题xx+dxLu(x,t)xn第5页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*在dt时间内流入微元的热量为:在dt时间内放出微元的热量为:在dt时间内微元吸收的净热量为:第6页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*由比热公式:由热量守恒定律得:一维齐次热传导方程第7页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*设均匀且各向同性的导热体,置于温度比它高的热场中,求物体中温度u(x,y,z,t)的分布的规律。(2)、三维空间中的热传导问题导热体热场第8页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*分析:(1)、[t1,t2]时间里流入导热体的热量Q1计算先要给出在[t1,t2]时间里流入导热体的热量,然后再给出在该时间中导热体温度升高所需要的热量。dSn流入dS的热量微元为:第9页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*在[t1,t2]时间里流入S的热量为:第10页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*(2)、[t1,t2]里导热体升温需要的热量Q2计算导热体微元dV在dt时间升温需要的热量为:[t1,t2]里导热体升温需要的热量Q2为:第11页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*由热量守恒定律:Q1=Q2于是得到:三维齐次热传导方程第12页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*如果导热体内部有热源,不难得到非齐次方程形式为:其中,f(M,t)被称为自由项。物质扩散与热传导现象相似。所以,热传导方程也称为扩散方程。第13页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*(二)、稳态场方程稳态场问题是一类重要的典型物理问题,主要特征是所研究的物理量不随时间而变化。1、稳定温度分布三维齐次热传导方程为:热传导达到稳定状态时有:称后一方程为稳态场中的拉普拉斯方程.第14页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*由静电场的高斯公式:如果设:2、静电场中的电势分布规律可以得到:第15页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*静电场是保守场,于是存在势函数u(x,y,z)满足:把(2)代入(1)得:这就是静电场中电势满足的泊松方程如果ρ=0,则泊松方程变为拉普拉斯方程。泊松方程与拉普拉斯方程称为稳态场方程。第16页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*1、波动方程:三类典型物理方程总结2、热传导方程:3、稳态场方程(泊松方程):第17页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*1、不含初值条件带第一类边界条件:狄里赫列问题,简称狄氏问题;稳态场方程的定解条件问题2、边界条件带第二类边界条件:牛曼问题;带第三类边界条件:洛平问题。稳态场方程求解将在第六章讨论!第18页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*(三)、影响物理系统的其它条件1、衔接条件反映两种介质交界处物理状况的条件称为衔接条件。当物理系统涉及几种介质时,定解条件中就要包括衔接条件。例1、写出由两种不同材料,等截面积杆连接成的杆的纵振动的衔接条件。连接处为x=x0分析:连接处面上点的位移相等,面上协强相等。x=x0Y1Y2xu1(x,t)u2(x,t)第19页,讲稿共33页,2023年5月2日,星期三*所以,衔接条件为:例2、讨论静电场中电介质表面的衔接条件设ε1,ε2与u1,u2分别表示两种介质的介电常数与电势;?f表
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