非线性振动漫谈.docx

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小组成员

学 院

系 别

专 业

年 级

任课教师

振动理论小组报告

振动理论

工程科学学院

近代力学系

理论与应用力学

2012级

陈海波

非线性振动漫谈

1:概述

牛顿方程建立以来，人们应用线性微分方程研究物体的运动，取得了许多重要的成果。实际上，不仅是力学，还包括其他物理学领域，人们长期研究的主要是线性理论。自20世纪60年代以来，人们在实验研究中发现，在自然科学的许多领域都存在一些线性理论无法解释的现象，开始是非线性振动，后来又在流体力学和声学领域，接着是伴随激光而诞生的非线性光学...非线性向人们展示了一副令人惊奇、甚至是不可思议的图景。

本文首先宏观得介绍非线性现象及其与线性系统的不同点，然后初步介绍非线性振动的两类求解方法，一类是定性的方法或称几何法，用以判定一个系统的发展趋势，主要是其稳定性问题；另一类是定量的方法，主要有平均法，迭代法与摄动法等。由于定量法设计的数学知识比较复杂，旦数学推导很麻烦，因此本文将把重点放在定性求解上。

2：非线性系统与线性系统的对比

从数学的角度看，线性系统有两个显著的特点：一个特点是，因为自变量与函数之间的关系是线性的，因而自变量的变化率与函数的变化率之间成确定的比例。例如，函数y=ax+b,

它对自变量x是线性的，则由?=a可■见，当尿T0时，也有匀T。。这意味着函数值对自变量的取值精确度不敏感，亦即相应于自变量的微小变化，函数值也只会产生微小的变化。而一般的非线性系统，对初始值具有高度的敏感性，著名的蝴蝶效应就是典型的例子,意思是说，今天在巴西的热带雨林里有一只蝴蝶偶尔拍打了一下翅膀，可■能在两个星期后,就在美国的德克萨斯州引起一场龙卷风。天气的演化对初始值如此敏感，因此长期的天气预报是不可能的。

线性系统的另一个特点是，系统的整体性质可以由组成它的各个子系统的代数叠加得出，这就是所谓的线性叠加原理。如果一个系统可以分解为若干相对独立的子系，则线性关系表明的是，只要各个子系的行为都己知，则系统的所有行为就是所有子系的简单叠加。从这里可以看出，线性系统是由若干互不相干的独立子系组成的，线性关系就是来源于各个独立子系的独立贡献。于此对照，非线性系统的各个子系之间有着不可忽略的相互作用，因而在非线性的情况下，事情就变得复杂多了。

下面以洛伦兹方程为例子，简单得说明非线性现象对初值的高度敏感。

1963年美国麻省理工学院的1象学专家洛伦兹在研究天气预报问题时，将异常复杂的大气对流偏微分方程化简后，得到一组常微分方程

.

X=—10x4-1Oy

?(1)

y=28x—y—xz

?S

Z=-§z+xy.

这一方程己成为混沌理论的经典方程，即著名的洛伦兹方程。洛伦兹当时使用的是真空管电子计算机，通过数值计算求解这一方程，因为计算费时太多，为避免每次从头算起，他把每次计算的中间结果打印下来。使他惊异的是，在重复上次计算结果的过程中，知识开头一小段与上次结果一致，但很快就越来越偏离上次的结果。他意识到，他的这一组方程并不是线性的故不遵从传统线性理论下的规律，而是对初值具有高度的敏感性。

除了对初值极为敏感这一点以外，洛伦兹方程的解(图1)也显出很奇异的特性。从图1可以看到，方程的解总体由两个环套组成,像三维空间中的某种双螺旋，又像蝴蝶的两个翅膀，

这种结构称为奇怪吸引子，因为它们吸引相平面的相点，但所有的相点又都永远到不了环套的中心。从图中看，每一个环套上都分布着细密的轨线，轨线一层层缠绕，在一个环套上转几圈，又跑到另一个换套上，完全无法预料什么时候从一个环套跑到另一个环套上。而且,这些轨线尽管紧密缠绕，但从不相交。从轨线的这些特征可以明显看到，洛伦兹方程的长期行为是无法预测的。

图1:

图1:洛伦兹吸引子

3：非线性振动的求解方法

3.1非线性振动的定性分析方法

3.1.1状态空间及状态方程

将广义坐标q（t）与J,义速度q（t）组成一个向量（q1,q2,...,qix; ?称为状态向量,

其各个分量称为状态变量，状态向量所存在的空间，称为相空间或状态空间。状态向量的端点，称为“状态点”，其运动轨迹称为相轨迹或轨线，轨线的总体称为相图。通过相空间中一点，一般只会有一条轨线，因此其各条轨线不会相交（个边点除外），而整个相图纹理井然，便于分析，因此非线性系统的几何理论经常在相空间展开。

以状态变量作为基本变量可得到状态方程，多自由度的运动方程一般可以写为

??????

q（t）=￡（缶42迎,…，qn；qi，qz，q3,…，qn；t）,i=l,2,3,…，n

为此令

xi=春=qi1=L二???》n（3）而状态向量成为

{x}={Xj必,…

{x}