第一节-方差分析的基本原理与步骤.docx

A1A2表示第

A1

A2

表示第i个处理的平均数；

表示全部观

方差分析有很多类型，无论简单与否，其基本原理与步骤是相同的。本节结合单因素试验结果的方差分析介绍其原理与步骤。

一、线性模型与基本假定

假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重复，共有nk个观测值。这类试验资料的数据模式如表6-1所示。

处理表6-1k个处理每个处理有n个观测值的数据模式

处理

观测值

合

计

平

均

x11 x12

…

x1j

…

x1n

x21 x22

…

x2j

…

x2n

xi1 xi2

…

…

xij

…

…

xin

xk1 xk2

…

…

xkj

…

…

xkn

xk.

AiAk合

Ai

Ak

表中 表示第i

表中 表示第i个处理的第j个观测值（i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）；

表示第i个处理n个观测值的和；

表示全部观测值的总和；

(6-1)测值的总平均数；可以分解为表示第i个处理观测值总体的平均数。为了看出各处理的影响大小，将 再进行分解，令

(6-1)

测值的总平均数；

可以分解为

= 、

= 、（xij- ）= 的估计值。

(6-2)(6-3)

(6-2)

(6-4)则

(6-4)

其中μ表示全试验观测值总体的平均数， 是第i个处理的效应

(6-5)（treatmenteffects）表示处理i对试验结果产生的影响。显然有

(6-5)

εij是试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，σ2）。

（6-4）式叫做单因素试验的线性模型（linearmodel）亦称数学模型。在这个模

型中 表示为总平均数μ、处理效应αi、试验误差εij之和。由εij相互独立且服从正态分布N（0，σ2），可知各处理Ai(i

型中 表示为总平均数μ、处理效应αi、试验误差εij之和。由εij相互

等，σ2则必须是相等的。所以，单因素试验的数学模型可归纳为：效应的可加性（additivity）、分布的正态性（normality）、方差的同质性（homogeneity）。这也是进行其它类型方差分析的前提或基本假定。

若将表（6-1）中的观测值xij（i=1,2,…,k;j=1,2,…,n）的数据结构（模型）

(6-6)与（6-4）式比较可知， 、、

(6-6)

与（6-4）式比较可知， 、

、

分别是μ、（μi-μ）

（6-4）、（6-6）

（6-4）、（6-6）两式告诉我们：每个观测值都包含处理效应（μi-μ或

），

与误差(

或

)，故kn个观测值的总变异可分解为处理间的变异和处理

二、平方和与自由度的剖分

我们知道，方差与标准差都可以用来度量样本的变异程度。因为方差在统计分析上有许多优点，而且不用开方，所以在方差分析中是用样本方差即均方

（meansquares）来度量资料的变异程度的。表6-1中全部观测值的总变异可以

其中用总均方来度量。将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要将总均方分解为处理间均方和处理内均方。但这种分解是通过将总均方的分子──称为总离均差平方和，简称为总平方和，剖分成处理间平方和与处理内平方和两部分；将总均方的分母──称为总自由度，剖分成处理间自由度与处理内自由度两部分来实现的。

其中

（一）总平方和的剖分在表6-1中，反映全部观测值总变异的总平方和是各观测

值xij与总平均数 的离均差平方和，记为SST。即

因为

所以（6-7）（6-7）式中，为各处理平均数与总平均数的离均差平方和与重复数n的乘积，反映了重复n次的处理间变异，称为处理间平方和，记为

所以

（6-7）

（6-7）式中，

为各处理平均数

与总平均数

的离均差平方和与

(6-7)式中，为各处理内离均差平方和之和，反映了各处理内的变异即误差，称为处理内平方和或误差平方和，记为SSe，即

(6-7)式中，

为各处理内离均差平方和之和，反映了各处理内的变

于是有

SST=SSt+SSe（6-8）

(6-9)(6-7)，（6-8）两式是单因素试验结果总平方和、处理间平方和、处理内平方和的关系式。这个关系式中三种平方和的简便计算公式如下：

(6-9)

其中，C=x2··/kn称为矫正数。

这一条件的约束，故总自由度等于资料中观测值的总个数减（二）总自由度的剖分在计算总平方和时，资料中的各个观测值要受

这一条件的约束，故总自由度等于资料中观测值的总个数减

在计算处理间平方和时，各处理均数 要受这一条件的约束，故处一，即kn-1。总自由度记为dfT，即dfT=kn-

在计算处理间平方和时，各处理均数 要受

这一条件的约束，故处

在计算处理内平方和时，要受k个条件的约束，即（i=1,2,…,k

在计算处理内平方和时，要受k