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南京宇通实验学校2022-2023第二学期期末模拟（一）
数学试题
2023.6.8
姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷规定位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则复数在复平面内对应的点在（????）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知一组数据，，，，，的方差是，那么另一组数据，，，，，的方差是（????）
A． B． C． D．
3．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（????）
A． B． C． D．
4．已知、为锐角，，，则（????）
A． B． C． D．
5．已知向量，，，若，则与的夹角为（????）
A． B． C． D．
6．在中，已知，那么最大内角的余弦值为（????）．
A． B． C． D．
7．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A． B． C． D．
8．如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，且，则该正四棱柱的外接球表面积为
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设向量，，则下列叙述错误的是(????)
A．若时，则与的夹角为钝角 B．的最小值为
C．与共线的单位向量只有一个为 D．若，则或
10．有两条不同的直线与两个不同的平面，下列结论中不正确的是（????）
A．，，，则 B．，，且，则
C．，，则∥ D．，且，则
11．在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（????）
A．两件都是一等品的概率是
B．两件中有1件是次品的概率是
C．两件都是正品的概率是
D．两件中至少有1件是一等品的概率是
12．对于，有如下命题，其中正确的有（????）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为直角三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为或
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为1200的样本，三个年级学生人数之比依次为.已知高一年级共抽取了200人，则高三年级抽取的人数为.
14．已知，，，则.
15．如图所示，为正三角形，，则．
??
16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．某机器人兴趣小组有男生3名，记为，，，有女生2名，记为，，从中任意选取2名学生参加机器人大赛．
（1）求参赛学生中恰好有1名女生的概率；
（2）求参赛学生中至少有1名女生的概率．
18．若定义一种运算：.已知为复数，且.
(1)求复数；
(2)设为实数，若为纯虚数，求的最大值.
19．已知向量，，其中，且.
(1)求的值；
(2)若，且，求角.
20．某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组第一组：第二组：第三组：第四组：第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．
??
(1)求x；
(2)求抽取的x人的年龄的中位数结果保留整数；
(3)以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20百分位数．
21．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，M、N分别是、的中点，
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若，是边
一级建造师持证人
专注于一、二级建造师、监理工程师考试辅导。现取得一级建造师（水利、建筑）、二级建造师（市政、机电）、监理工程师（土木工程、水利工程、交通工程）、中级注册安全工程师等证书。
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