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专题01二次函数

★知识点1二次函数的概念

1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项.

二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．

2.二次函数的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

典例分析

【例1】（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，据此逐一进行判断，即可求解．

【详解】A.是反比例函数，故本选项错误；

B.，未知数的次数不是，故本选项错误；

C.是一次函数，故本选项错误；

D.，符合二次函数的定义，故本选项正确．

故选：D．

【点睛】此题考查了二次函数的定义，理解定义，会根据定义进行判断是解题的关键．

【例2】（2022秋·山东东营·九年级校考期中）下列函数中不属于二次函数的是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二次函数定义进行解答即可.

【详解】解：A、是二次函数，不符合题意；

B、是二次函数，不符合题意；

C、不是二次函数，符合题意；

D、是二次函数，不符合题意；

故选：C.

【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件.

【即学即练】

1．（2023·浙江·九年级假期作业）下列函数是关于的二次函数的是（????）

A．B．C． D．

【答案】D

【分析】一般地，我们把形如（其中是常数且）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项．根据二次函数的定义逐项判断即可．

【详解】解：A.，是一次函数，故该选项不符合题意；

B.，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意；

C.，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意；

D.，是二次函数，故该选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题关键．

2．（2022秋·浙江·九年级阶段练习）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（????）

A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3

C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3

【答案】B

【分析】根据二次函数的一般形式可得答案．

【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；

故选：B．

【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．

★知识点2：列二次函数关系式

列二次函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．

典例分析

【例1】（2023·浙江·九年级假期作业）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（每次降价的百分率），列出函数关系式，即可求解．

【详解】解：∵每次降价的百分率都是x，

∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是．

故选：B

【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

【例2】（2023·北京·模拟预测）线段，动点以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点．以点A为圆心、线段长为半径作圆心角为的扇形，以线段为边作等边．设点的运动时间为t，扇形的弧的长为，等边的面积为S，则与，与满足的函数关系分别是（????）

A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系

C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系

【答案】B

【分析】根据题意分别列出y与t，S与t的函数关系，进而进行判断即可．

【详解】解：设点的运动时间为t，则，，

则，

，

∴与，与满足的函数关系分别是正比例函数关系，二次函数关系，

故选：B．

【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．

即学即练

1．（2022春·九年级单元测试）在半径为的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下的圆环的面积为，则y与x的函数解析式为（????）

A． B