第2章 轴对称图形（压轴必刷30题10种题型专项训练）（解析版）.docxVIP

第2章轴对称图形（压轴必刷30题10种题型专项训练）

一．角平分线的性质（共8小题）

1．（2022秋?九龙坡区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N，下列五个结论：①AC＝AN；②EN＝FC；③EN∥BC；④∠ABC＝45°；⑤连接BM，若S△ABC＝16，则S△ABM＝8，其中正确的结论有（）

A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤

【分析】连接EN，FN，BM，根据SAS证得△AMN≌△AMC，即可证得AC＝AN，可以判断②正确；由已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，CM⊥AF，从而证得三个直角三角形，即：∠AED+∠DAE＝90°，∠EFC+∠CAE＝90°，再通过已知，∠BAC的平分线AF和对顶角得∠CEF＝∠CFE，即得△ECF为等腰三角形，EM＝FM，证明四边形ENFC是菱形，可以判断①③正确；根据等腰直角三角形的性质可以判断④错误；根据等底等高的两个三角形面积相等可以判断⑤正确．

【解答】解：如图，连接FN，

∵CN⊥AF，

∴∠AMC＝∠AMN＝90°，

∵∠BAC的平分线AF交CD于E，

∴∠DAE＝∠CAE，

在△AMN和△AMC中，

，

∴△AMN≌△AMC（ASA），

∴AC＝AN，故②正确；

∵△AMN≌△AMC，

∴CM＝NM，

∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠ADC＝90°，

∴∠AED+∠DAE＝90°，∠CFE+∠CAE＝90°，

∵∠BAC的平分线AF交CD于E，

∴∠DAE＝∠CAE，

∴∠AED＝∠CFE，

又∵∠AED＝∠CEF，

∴∠CEF＝∠CFE，

∴CE＝CF，

∵CM⊥AF，

∴EM＝FM，

∴四边形ENFC是菱形，

∴EN＝FC，EN∥BC，故①③正确；

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∵AC≠BC，

∴∠B≠45°，故④错误；

∵四边形ENFC是菱形，

∴CM＝MN，

∴S△ACM＝S△ANM，S△BCM＝S△BMN，

∴S△ANM+S△BMN＝S△ACM+S△BCM＝S△ABC，

∴S△ABM＝S△ABC，

∴S△ABC＝16，则S△ABM＝8．故⑤正确．

综上所述：①②③⑤．

故选：C．

【点评】此题考查的是菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质、定理是解题的关键．

2．（2022秋?阳东区期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，正确的结论有（）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC＝90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，故④正确．

【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，

∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，

∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正确；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，

∵EF∥BC，

∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，

∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，

∴BE＝OE，CF＝OF，

∴EF＝OE+OF＝BE+CF，

故①正确；

过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴ON＝OD＝OM＝m，

∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE?OM+AF?OD＝OD?（AE+AF）＝mn；故④正确；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．

故选：D．

【点评】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

3．（2022秋?西平县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6