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二次根式讲义

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二次根式复习讲义

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：

形如√a(a≥0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，

√a才有意义．

【典型例题】

【例1】下列各式1）

15,2) ?5,3) ?

1

5

4) 4,5) (? )2,6) 1?a,7) ，

x2?2,a2

x2?2,

a2?2a?1

1

其中是二次根式的是 （填序号）．举一反三：

1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）

a?10a

a

?10

a?1

a2?1

aa2b1?

a

a2b

1?x2

3

x?32、在 、 、 x?1

x?3

【例2】若式子

1 有意义，则x的取值范围是 ．

举一反三：

1、使代数式 x?3有意义的x的取值范围是（ ）

x?4

mmnx?5

m

mn

x?5

5?x

4

B、x≥3 C、x4 D、x≥3且x≠

2、如果代数式

1 有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在

解题思路：式

解题思路：式子 a（a≥0），?x?5?0,

?

?5?x?0

x?5，y=2009，则x+y=2014

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

【例3】若y= + +2009，则x+y=

举一反三：

x?11?x1、若 ? ?(x?y)2，则

x?1

1?x

A．－1 B．1 C．2 D．3

2x?33?2x52、若x、y都是实数，且y= ? ?4，求

2x?3

3?2x

5

5【例4】已知a是

5

整数部分，b是

的小数部分，求a?

1 的值。

b?2

3举一反三：

3

1、若

的整数部分是a，小数部分是b，则 3a?b? 。

a2a2a2a2??知识点二：二次根式的性质

a2

a2

a2

a2

?

?

【知识要点】

非负性： a(a?0)是一个非负数．

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.( a)2?a(a?0)．

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a?( a)2(a?0)

?a(a?0)

3. ?|a|???a(a?0)

注意：（1）字母不一定是正数．

能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号

留在根号外．

4.公式

（1）

?a(a?0)

?|a|???a(a?0)与( a)2?a(a?0)的区别与联系

表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．

( a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．

和( a)2的运算结果都是非负的．

【典型例题】

b?

b?3

【例5】若

a?2?

??c?4?2

?0，a?b?c?

m?3则

m?3

则 ．

?(n?1)2?0，则m?n的值为 。

二次根式的性质2 （公式( a)2?a(a?0)的运用）

【例6】化简：a?1?( a?3)2的结果为（ ）A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4

举一反三：

1、在实数范围内分解因式：x4?9???,x2?2 2x?2?

二次根式的性质3（公式

?a??a(a?0) 的应用）

a2??

a2

??a(a?0)

x2?4x?4

x2?4x?4

的结果是（ ）

A、x?2 B、x?2

举一反三：

C、?x?2

D、2?x

1、根式 (?3)2的值是( )

A．-3 B．3或-3

C．3

D．9

2、若a－3＜0，则化简 a2?6

(A)－1 (B) 1

a?9?4?a的结果是（

(C) 2a－7 (D)

）7－2a

【例8】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│

(a

(a?b)2

b a o

A．－2b B．2b C．－2a D．2a

(a?2)2举一反三：实数a

(a?2)2

a?1?

???． ?1 0