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2023-2024学年北京西城8中高三数学第一学期期末监测试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.记为等差数列的前项和.若,,则()
A.5 B.3 C.-12 D.-13
2.一个组合体的三视图如图所示(图中网格小正方形的边长为1),则该几何体的体积是()
A. B. C. D.
3.已知复数(为虚数单位),则下列说法正确的是()
A.的虚部为 B.复数在复平面内对应的点位于第三象限
C.的共轭复数 D.
4.已知单位向量,的夹角为,若向量,,且,则()
A.2 B.2 C.4 D.6
5.把满足条件(1),,(2),,使得的函数称为“D函数”,下列函数是“D函数”的个数为()
①②③④⑤
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.是恒成立的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.如图,是圆的一条直径,为半圆弧的两个三等分点,则()
A. B. C. D.
8.已知集合A={y|y},B={x|y=lg(x﹣2x2)},则?R(A∩B)=()
A.[0,) B.(﹣∞,0)∪[,+∞)
C.(0,) D.(﹣∞,0]∪[,+∞)
9.已知集合,集合,若,则()
A. B. C. D.
10.已知i是虚数单位,则1+ii
A.-12+32i
11.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位:分)进行统计得到折线图,下面是关于这两位同学的数学成绩分析.
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,故平均成绩为130分;
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间110,120内;
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关;
④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.
其中正确的个数为()
A.4 B.3 C.2 D.1
12.a为正实数,i为虚数单位,,则a=()
A.2 B. C. D.1
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.不等式的解集为________
14.在平面五边形中,,,,且.将五边形沿对角线折起,使平面与平面所成的二面角为,则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是______.
15.已知椭圆Г:,F1、F2是椭圆Г的左、右焦点,A为椭圆Г的上顶点,延长AF2交椭圆Г于点B,若为等腰三角形,则椭圆Г的离心率为___________.
16.若存在直线l与函数及的图象都相切,则实数的最小值为___________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)是数列的前项和,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列中最小的项.
18.(12分)已知,,分别是三个内角,,的对边,.
(1)求;
(2)若,,求,.
19.(12分)已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若函数的定义域为,求实数的取值范围.
20.(12分)在直角坐标系中,点的坐标为,直线的参数方程为(为参数,为常数,且).以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,建立极坐标系,圆的极坐标方程为.设点在圆外.
(1)求的取值范围.
(2)设直线与圆相交于两点,若,求的值.
21.(12分)如图,四边形中,,,,沿对角线将翻折成,使得.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
22.(10分)某单位准备购买三台设备,型号分别为已知这三台设备均使用同一种易耗品,提供设备的商家规定:可以在购买设备的同时购买该易耗品,每件易耗品的价格为100元,也可以在设备使用过程中,随时单独购买易耗品,每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台,调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数,并得到统计表如下所示.
每台设备一个月中使用的易耗品的件数
6
7
8
型号A
30
30
0
频数
型号B
20
30
10
型号C
0
45
15
将调查的每种型号的设备的频率视为概率,各台设备在易耗品的使用上相互独立.
(1)求该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率;
(2)以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据,该
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