具有生成元的hamilonian系统的abel积分零点上界.docxVIP

具有生成元的hamilonian系统的abel积分零点上界

1abel积分ih,+i

埃尔诺德在1979年首次提出了削弱hilber十六个问题的问题，并在不同的场合多次解释这个问题。这个问题可以解释：h（x，y）是n.1个值，h是h-1（h）的连续封闭曲线的家族，h是参数，w.f（x，y）dy-g（x，y）x是一个通道，f（x，y）和g（x，y）是多个次数的差值。

对于给定的正整数n≥2和满足如上条件的H,f,g,以及所有可能的闭曲线族{Гh},求Abel积分I(h)的孤立零点的最大个数(包括重数)?弱化Hilbert16th问题是至今没有被解决的难度非常大的一个公开问题,它与Hilbert16th问题紧密相关关于其研究进展和部分有效的研究方法见综述性文章[8,14-16,19,20,26,28].取和w=q(x)ydx,I(h)是对应于扰动Hamiltonian系统

的Abel积分(ε是充分小的正参数),学者们对这类Abel积分的研究已经做了很多的工作,取得了非常重要的结果[4,5,9,10,11,12,17,18,23,25,27].最近,文中作者以相应的Abel积分为工具研究如下Liénard系统的极限环分支

其中哈密顿量是

0ε《1,a,b和c是实有界参数.哈密顿量(x,y)定义的闭曲线族如图1所示.系统(1.1)对应的Abel积分如下

其中,δ=(a,b,c),Lh是由(x,y)=h所定义的闭轨线族,(i=0,1,3,4)

本文证明{I0,I1,I3I4}是精度为1的Chebeyshev系统,得到Abel积分I(h,δ)零点个数的上界结果是4,这不同于文中的结果.文作为主要结果证明了I(h,δ)的生成元{I0,I1,I3,14}构成Chebeyshev系统(即精度为0),因此I(h,δ)的零点个数不超过3(考虑重数).然而,文中作者在求证{I0,I1,I3,I4}满足Chebeyshev系统时出现错误推导,因此{I0,I1,I3,I4}不能构成Chebeyshev系统.我们将在最后指出错误之处.因此Abel积分I(h,δ)零点个数最新正确上界是4.本文第2部分是用到的相关引理,第3部分证明I(h,δ)的零点个数上界是4.

2abel积分的线性组合

考虑在平面某开子集上解析的具有如下形式的哈密顿函数

假定它在原点O(0,0)有局部最小值H(0,0)=0,环绕中心O(0,0)有一族顺时针方向的闭轨Γh{(x,y)|H(x,y)=h,0hh0},形成未扰系统的周期环域,每条周期轨与x-轴有两个交点,设区间(xl,xr)是周期轨族在x-轴上的投影.根据假设可知

因此,A(x)定义了一个对合z(x)满足A(x)=A(z(x)),当0xxr时,Xlz(x)0.设fi(x)是解析函数,考虑沿着每条轨线Γh的如下形式的Abel积分

关于其线性组合的零点个数有如下结果.

引理2.1假定上述条件成立,考虑(2.1)定义的Abel积分Ii(h),并定义

如果以下条件成立:

(ⅰ)W[l0,…,li],当x∈(0,xr)和所有的i=0,1,...,n-2;

(ⅱ)W[l0,…,ln-1]在(0,xr)上有k个零点(考虑重数);

(ⅲ)sn+k-2,

则任何非平凡线性组合{I0,I1,…,In-1}在(0,h0)至多有n+k-1零点(考虑重数)。此时称{I0,I1,…,In-1}在(0,h0)上是精度为k的Chebeyshev系统(w[l0,…,li)表示l0,…,li的朗斯基行列式).

在研究一些系统时,s的值不满足条件(iii)的条件,引理2.1并不能直接应用,此时可以使用如下引理2.2,提高Ii(h)中y的次数,克服上述问题,见文[13,引理4.1].

引理2.2设F(x)是关于x的一元函数,并且满足在x=0处解析.对于任意k∈N,沿着的每条轨线Γh,如下等式成立

其中

Abel积分零点个数的Chebeyshev性质的代数判定方法最初的思想是来源于文,在文得到推广和发展.

3个朗斯基行列式的公共根

本部分利用引理2.1和2.2,并结合相关代数定理和分析技巧研究(1.3)中Abel积分I(h,δ)的生成元

证明{I0,I1,I3,I4}在(0,)上构成精度为1的Chebeyshev系统.

系统(1.1)的哈密顿函数(x,y)定义的周期轨线形成的周期环域在x轴上的投影是(,1),记,其中.对应引理2.1的形式,此时n=4,s=1,不满足sn+k-2.下面根据引理2.2提高Ii中y的次数,因为在每条轨线Lh上成立,所以

取k=3和F(x)=2xiA(x),应用引理2.2,得到

其中

由(3.2)和(3.3)以及考虑到在每条轨线Lh上=1,可得

取k=5和F(x)=2A(x)(xi+Gi(x)),由引理2.2得到

其中,,而