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2023-2024学年北京市清华大学附中高三数学第一学期期末学业质量监测试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下图是民航部门统计的某年春运期间,六个城市售出的往返机票的平均价格(单位元),以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图,以下叙述不正确的是()
A.深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高
B.天津的往返机票平均价格变化最大
C.上海和广州的往返机票平均价格基本相当
D.相比于上一年同期,其中四个城市的往返机票平均价格在增加
2.已知集合,集合,那么等于()
A. B. C. D.
3.已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,则的最小值为()
A. B. C. D.
4.设,是非零向量,若对于任意的,都有成立,则
A. B. C. D.
5.在中,“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图是全等的直角三角形,则该几何体的各个面中,最大面的面积为()
A.2 B.5 C. D.
7.已知直线和平面,若,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.不充分不必要
8.设、分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,则()
A. B.0 C.1 D.3
9.如图,这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图,则下列说法不正确的是()
A.甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班
B.甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定
C.甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班
D.甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103
10.已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与抛物线的一个交点,若,则()
A. B.3 C. D.2
11.设i为数单位,为z的共轭复数,若,则()
A. B. C. D.
12.已知向量,是单位向量,若,则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若正三棱柱的所有棱长均为2,点为侧棱上任意一点,则四棱锥的体积为__________.
14.已知,则展开式中的系数为__
15.若关于的不等式在上恒成立,则的最大值为__________.
16.函数与的图象上存在关于轴的对称点,则实数的取值范围为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)设函数.
(1)当时,解不等式;
(2)若的解集为,,求证:.
18.(12分)已知等差数列的前n项和为,等比数列的前n项和为,且,,.
(1)求数列与的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
19.(12分)已知椭圆的焦点在轴上,且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.
(1)求椭圆的方程;
(2)设,过椭圆右焦点的直线交于、两点,若对满足条件的任意直线,不等式恒成立,求的最小值.
20.(12分)在四棱锥中,是等边三角形,点在棱上,平面平面.
(1)求证:平面平面;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值的最大值;
(3)设直线与平面相交于点,若,求的值.
21.(12分)已知数列的前项和为,且满足,各项均为正数的等比数列满足
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和
22.(10分)已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,如果方程有两个不等实根,求实数t的取值范围,并证明.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析,由此得出叙述不正确的选项.
【详解】
对于A选项,根据折线图可知深圳的变化幅度最小,根据条形图可知北京的平均价格最高,所以A选项叙述正确.
对于B选项,根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大,所以B选项叙述正确.
对于C选项,根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当,所以C选项叙述正确.
对于D选项,根据折线图可知相比于上一年同期,除了深圳外,另外五个城市的往返机票平均价格在增加,故D选项叙述错误.
故选:D
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