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2023-2024学年北京市海淀区六一中学数学高三上期末质量检测试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.抛掷一枚质地均匀的硬币,每次正反面出现的概率相同,连续抛掷5次,至少连续出现3次正面朝上的概率是()
A. B. C. D.
2.已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的-一个公共点,且,设椭圆和双曲线的离心率分别为,则的关系为()
A. B.
C. D.
3.在棱长均相等的正三棱柱中,为的中点,在上,且,则下述结论:①;②;③平面平面:④异面直线与所成角为其中正确命题的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图是一个算法流程图,则输出的结果是()
A. B. C. D.
5.“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6.在中,角、、的对边分别为、、,若,,,则()
A. B. C. D.
7.如图所示,三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一个内角为,若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为()
A.20 B.27 C.54 D.64
8.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;
②甲同学的平均分比乙同学的平均分高;
③甲同学的平均分比乙同学的平均分低;
④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.
以上说法正确的是()
A.③④ B.①② C.②④ D.①③④
9.已知集合,集合,那么等于()
A. B. C. D.
10.已知等比数列的各项均为正数,设其前n项和,若(),则()
A.30 B. C. D.62
11.连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为,连接4个焦点的四边形的面积为,则当取得最大值时,双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
12.己知全集为实数集R,集合A={x|x2+2x-80},B={x|log2x1},则等于()
A.[4,2] B.[4,2) C.(4,2) D.(0,2)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,,则球的表面积为__________.
14.两光滑的曲线相切,那么它们在公共点处的切线方向相同.如图所示,一列圆(an0,rn0,n=1,2…)逐个外切,且均与曲线y=x2相切,若r1=1,则a1=___,rn=______
15.已知实数x,y满足,则的最大值为____________.
16.若奇函数满足,为R上的单调函数,对任意实数都有,当时,,则________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求和的直角坐标方程;
(2)已知为曲线上的一个动点,求线段的中点到直线的最大距离.
18.(12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如下:
等级
不合格
合格
得分
频数
6
24
(1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数;
(2)其他条件不变,在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈,每次抽取1人,求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下,第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率;
(3)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为,求的数学期望.
19.(12分)已知为坐标原点,点,,,动点满足,点为线段的中点,抛物线:上点的纵坐标为,.
(1)求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程;
(2)若抛物线的准线上一点满足,试判断是否为定值,若是,求这个定值;若不是,请说明理由.
20.(12分)在四棱锥中,底面为直角梯形,,面.
(1)在线段上是否存在点,使面,说明理由;
(2)求二面角的余弦
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