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2023-2024学年北京市丰台区高三数学第一学期期末学业质量监测模拟试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.的内角的对边分别为,若,则内角()
A. B. C. D.
2.复数满足,则复数等于()
A. B. C.2 D.-2
3.已知函数()的部分图象如图所示,且,则的最小值为()
A. B.
C. D.
4.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点,则的值为()
A. B. C. D.
5.随着人民生活水平的提高,对城市空气质量的关注度也逐步增大,下图是某城市月至月的空气质量检测情况,图中一、二、三、四级是空气质量等级,一级空气质量最好,一级和二级都是质量合格天气,下面叙述不正确的是()
A.1月至8月空气合格天数超过天的月份有个
B.第二季度与第一季度相比,空气达标天数的比重下降了
C.8月是空气质量最好的一个月
D.6月份的空气质量最差.
6.在正方体中,E是棱的中点,F是侧面内的动点,且与平面的垂线垂直,如图所示,下列说法不正确的是()
A.点F的轨迹是一条线段 B.与BE是异面直线
C.与不可能平行 D.三棱锥的体积为定值
7.下列函数中,在定义域上单调递增,且值域为的是()
A. B. C. D.
8.我国古代有着辉煌的数学研究成果,其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,有丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为()
A. B. C. D.
9.如图,正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图,则该多面体各表面所在平面互相垂直的有()
A.2对 B.3对
C.4对 D.5对
10.已知函数有两个不同的极值点,,若不等式有解,则的取值范围是()
A. B.
C. D.
11.已知集合,,则()
A. B.
C. D.
12.已知抛物线:()的焦点为,为该抛物线上一点,以为圆心的圆与的准线相切于点,,则抛物线方程为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知数列{an}的前n项和为Sn,向量(4,﹣n),(Sn,n+3).若⊥,则数列{}前2020项和为_____
14.函数的图象向右平移个单位后,与函数的图象重合,则_____.
15.一个房间的地面是由12个正方形所组成,如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面,已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形,即或,则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有_______种.
16.曲线在点处的切线方程是__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在四棱锥中,是等边三角形,点在棱上,平面平面.
(1)求证:平面平面;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值的最大值;
(3)设直线与平面相交于点,若,求的值.
18.(12分)已知矩阵的逆矩阵.若曲线:在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线,求曲线的方程.
19.(12分)已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,如果方程有两个不等实根,求实数t的取值范围,并证明.
20.(12分)在以ABCDEF为顶点的五面体中,底面ABCD为菱形,∠ABC=120°,AB=AE=ED=2EF,EFAB,点G为CD中点,平面EAD⊥平面ABCD.
(1)证明:BD⊥EG;
(2)若三棱锥,求菱形ABCD的边长.
21.(12分)已知圆,定点,为平面内一动点,以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线
(1)求曲线的方程
(2)过点的直线与交于两点,已知点,直线分别与直线交于两点,线段的中点是否在定直线上,若存在,求出该直线方程;若不是,说明理由.
22.(10分)已知函数
(1)当时,若恒成立,求的最大值;
(2)记的解集为集合A,若,求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由正弦定理化边为角,由三角函数恒等变换可得.
【详解】
∵,由正弦定理可得,
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