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2023-2024学年福建省福州市三校联考高三数学第一学期期末统考试题
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线的焦点为,过焦点的直线与抛物线分别交于、两点,与轴的正半轴交于点,与准线交于点,且,则()
A. B.2 C. D.3
2.设函数,的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是()
A.是偶函数 B.是奇函数
C.是奇函数 D.是奇函数
3.过抛物线()的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.,且在第一象限,则()
A. B. C. D.
4.已知三棱柱()
A. B. C. D.
5.设,均为非零的平面向量,则“存在负数,使得”是“”的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.设i是虚数单位,若复数()是纯虚数,则m的值为()
A. B. C.1 D.3
7.直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A,B两点,则的最小值是
A.10 B.9 C.8 D.7
8.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,,,,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则()
A.48 B.63 C.99 D.120
9.要得到函数的导函数的图像,只需将的图像()
A.向右平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
B.向右平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的倍
C.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的倍
D.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
10.把函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象.给出下列四个命题
①的值域为
②的一个对称轴是
③的一个对称中心是
④存在两条互相垂直的切线
其中正确的命题个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知函数若恒成立,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
12.函数的图象在点处的切线为,则在轴上的截距为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张,要支付贰佰壹拾玖(219)元的货款,则有________种不同的支付方式.
14.的展开式中的系数为____.
15.的展开式中的系数为________.
16.函数的极大值为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知非零实数满足.
(1)求证:;
(2)是否存在实数,使得恒成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由
18.(12分)已知矩阵的一个特征值为4,求矩阵A的逆矩阵.
19.(12分)如图,D是在△ABC边AC上的一点,△BCD面积是△ABD面积的2倍,∠CBD=2∠ABD=2θ.
(Ⅰ)若θ=,求的值;
(Ⅱ)若BC=4,AB=2,求边AC的长.
20.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)若射线与和分别交于点,求.
21.(12分)已知椭圆经过点,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)经过点且斜率存在的直线交椭圆于两点,点与点关于坐标原点对称.连接.求证:存在实数,使得成立.
22.(10分)已知等差数列和等比数列的各项均为整数,它们的前项和分别为,且,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)求;
(3)是否存在正整数,使得恰好是数列或中的项?若存在,求出所有满足条件的的值;若不存在,说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
过点作准线的垂线,垂足为,与轴交于点,由和抛物线的定义可求得,利用抛物线的性质可构造方程求得,进而求得结果.
【详解】
过点作准线的垂线,垂足为,与轴交于点,
由抛物线解析式知:,准线方程为.
,,,,
由抛物线定义知:,,,
.
由抛物线性质得:,解得:,
.
故选:.
【点睛】
本题考查抛物线定义与几何性质的应用,关键是熟练掌握抛物线的定义和焦
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