2023-2024学年福建省福州市三校联考高三数学第一学期期末统考试题含解析.docVIP

2023-2024学年福建省福州市三校联考高三数学第一学期期末统考试题

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于、两点，与轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（）

A． B．2 C． D．3

2．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．是奇函数 D．是奇函数

3．过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.，且在第一象限，则（）

A． B． C． D．

4．已知三棱柱()

A． B． C． D．

5．设，均为非零的平面向量，则“存在负数，使得”是“”的

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

6．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（）

A． B． C．1 D．3

7．直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是

A．10 B．9 C．8 D．7

8．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（）

A．48 B．63 C．99 D．120

9．要得到函数的导函数的图像，只需将的图像（）

A．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍

B．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍

C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍

D．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍

10．把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．给出下列四个命题

①的值域为

②的一个对称轴是

③的一个对称中心是

④存在两条互相垂直的切线

其中正确的命题个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

11．已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

12．函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式.

14．的展开式中的系数为____.

15．的展开式中的系数为________.

16．函数的极大值为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知非零实数满足．

（1）求证：；

（2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由

18．（12分）已知矩阵的一个特征值为4，求矩阵A的逆矩阵.

19．（12分）如图，D是在△ABC边AC上的一点，△BCD面积是△ABD面积的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ．

（Ⅰ）若θ=，求的值；

（Ⅱ）若BC=4，AB=2，求边AC的长．

20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）若射线与和分别交于点，求．

21．（12分）已知椭圆经过点，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）经过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，点与点关于坐标原点对称．连接．求证：存在实数，使得成立．

22．（10分）已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求；

（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，由和抛物线的定义可求得，利用抛物线的性质可构造方程求得，进而求得结果.

【详解】

过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，

由抛物线解析式知：，准线方程为.

，，，，

由抛物线定义知：，，，

.

由抛物线性质得：，解得：，

.

故选：.

【点睛】

本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦