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2023-2024学年北京市海淀区北师大附中数学高三第一学期期末复习检测试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则的大小为()
A. B. C. D.
2.一场考试需要2小时,在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为()
A. B. C. D.
3.已知点在双曲线上,则该双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
4.在中,点D是线段BC上任意一点,,,则()
A. B.-2 C. D.2
5.已知,,,若,则正数可以为()
A.4 B.23 C.8 D.17
6.已知集合,集合,若,则()
A. B. C. D.
7.已知复数满足,其中是虚数单位,则复数在复平面中对应的点到原点的距离为()
A. B. C. D.
8.若集合,,则
A. B. C. D.
9.已知向量,,则与的夹角为()
A. B. C. D.
10.若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
11.已知,则不等式的解集是()
A. B. C. D.
12.已知、是双曲线的左右焦点,过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点,若点在以线段为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在数列中,已知,则数列的的前项和为__________.
14.已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,则双曲线C的离心率为________.
15.在中,角的对边分别为,且,若外接圆的半径为,则面积的最大值是______.
16.曲线在处的切线的斜率为________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(1)讨论的零点个数;
(2)证明:当时,.
18.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、.试判断是否为定值,并说明理由.
19.(12分)在三棱柱中,四边形是菱形,,,,,点M、N分别是、的中点,且.
(1)求证:平面平面;
(2)求四棱锥的体积.
20.(12分)设复数满足(为虚数单位),则的模为______.
21.(12分)己知等差数列的公差,,且,,成等比数列.
(1)求使不等式成立的最大自然数n;
(2)记数列的前n项和为,求证:.
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,建立极坐标系.
(1)设直线l的极坐标方程为,若直线l与曲线C交于两点A.B,求AB的长;
(2)设M、N是曲线C上的两点,若,求面积的最大值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据椭圆的定义可得,,再利用余弦定理即可得到结论.
【详解】
由题意,,,又,则,
由余弦定理可得.
故.
故选:C.
【点睛】
本题考查椭圆的定义,考查余弦定理,考查运算能力,属于基础题.
2、B
【解析】
因为时针经过2小时相当于转了一圈的,且按顺时针转所形成的角为负角,综合以上即可得到本题答案.
【详解】
因为时针旋转一周为12小时,转过的角度为,按顺时针转所形成的角为负角,所以经过2小时,时针所转过的弧度数为.
故选:B
【点睛】
本题主要考查正负角的定义以及弧度制,属于基础题.
3、C
【解析】
将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长,进而求得离心率.
【详解】
将,代入方程得,而双曲线的半实轴,所以,得离心率,故选C.
【点睛】
此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念,属于基础题
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