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2023-2024学年福建省福州一中数学高三上期末调研试题
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.过抛物线()的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.,且在第一象限,则()
A. B. C. D.
2.在中,为边上的中点,且,则()
A. B. C. D.
3.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为()
A. B. C. D.
4.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如:,,,那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数,其和等于16的概率为()
A. B. C. D.
5.已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点,其横坐标分别为,则()
A. B. C. D.
6.设x、y、z是空间中不同的直线或平面,对下列四种情形:①x、y、z均为直线;②x、y是直线,z是平面;③z是直线,x、y是平面;④x、y、z均为平面.其中使“且”为真命题的是()
A.③④ B.①③ C.②③ D.①②
7.已知无穷等比数列的公比为2,且,则()
A. B. C. D.
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()
A. B. C. D.
9.已知与之间的一组数据:
1
2
3
4
3.2
4.8
7.5
若关于的线性回归方程为,则的值为()
A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.4.5
10.已知,,则()
A. B. C.3 D.4
11.已知函数,则()
A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减
C.函数图像关于对称 D.函数图像关于对称
12.已知正方体的棱长为1,平面与此正方体相交.对于实数,如果正方体的八个顶点中恰好有个点到平面的距离等于,那么下列结论中,一定正确的是
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.学校艺术节对同一类的,,,四件参赛作品,只评一件一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“或作品获得一等奖”;乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“,两项作品未获得一等奖”;丁说:“作品获得一等奖”.
若这四位同学中有且只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是______.
14.已知,那么______.
15.函数的图像如图所示,则该函数的最小正周期为________.
16.已知全集,集合,则______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知是等腰直角三角形,.分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥.
(Ⅰ)求证:平面平面.
(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值.
18.(12分)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若对任意的,当时,都有恒成立,求最大的整数.
(参考数据:)
19.(12分)已知函数,记不等式的解集为.
(1)求;
(2)设,证明:.
20.(12分)在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,E,F,G分别是棱AA1,AC和A1C1的中点,以为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.
(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值;
(2)求二面角F-BC1-C的余弦值.
21.(12分)在数列中,,
(1)求数列的通项公式;
(2)若存在,使得成立,求实数的最小值
22.(10分)在平面直角坐标系中,已知向量,,其中.
(1)求的值;
(2)若,且,求的值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
作,;,由题意,由二倍角公式即得解.
【详解】
由题意,,准线:,
作,;,
设,
故,,
.
故选:C
【点睛】
本题考查了抛物线的性质综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.
2、A
【解析】
由为边上的中点,表示出,然后用向量模的计算公式求模.
【详解】
解:为边上的中点,
,
故选:A
【点睛】
在三角形中,考查中点向量公式和向量模的求法,是基础题.
3、A
【解析】
由三视图还原原几何体如图,该几何体为组合体,上半部分
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