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2023-2024学年北京一零一中学数学高三上期末教学质量检测试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图,这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图,则下列说法不正确的是()
A.甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班
B.甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定
C.甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班
D.甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103
2.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,异面直线SC与OE所成角的正切值为()
A. B. C. D.
3.过圆外一点引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程是().
A. B. C. D.
4.在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.已知椭圆内有一条以点为中点的弦,则直线的方程为()
A. B.
C. D.
6.已知是偶函数,在上单调递减,,则的解集是
A. B.
C. D.
7.已知函数,若,则的取值范围是()
A. B. C. D.
8.在棱长均相等的正三棱柱中,为的中点,在上,且,则下述结论:①;②;③平面平面:④异面直线与所成角为其中正确命题的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
9.在中,,,,为的外心,若,,,则()
A. B. C. D.
10.函数的图象如图所示,则它的解析式可能是()
A. B.
C. D.
11.已知定点都在平面内,定点是内异于的动点,且,那么动点在平面内的轨迹是()
A.圆,但要去掉两个点 B.椭圆,但要去掉两个点
C.双曲线,但要去掉两个点 D.抛物线,但要去掉两个点
12.已知直线:()与抛物线:交于(坐标原点),两点,直线:与抛物线交于,两点.若,则实数的值为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如图,两个同心圆的半径分别为和,为大圆的一条直径,过点作小圆的切线交大圆于另一点,切点为,点为劣弧上的任一点(不包括两点),则的最大值是__________.
14.实数满足,则的最大值为_____.
15.若且时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为________.
16.高三(1)班共有56人,学号依次为1,2,3,…,56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本,已知学号为6,34,48的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)健身馆某项目收费标准为每次60元,现推出会员优惠活动:具体收费标准如下:
现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数,得到数据如下:
假设该项目的成本为每次30元,根据给出的数据回答下列问题:
(1)估计1位会员至少消费两次的概率
(2)某会员消费4次,求这4次消费获得的平均利润;
(3)假设每个会员每星期最多消费4次,以事件发生的频率作为相应事件的概率,从会员中随机抽取两位,记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为,求的分布列及数学期望
18.(12分)已知数列的前项和为,且满足().
(1)求数列的通项公式;
(2)设(),数列的前项和.若对恒成立,求实数,的值.
19.(12分)已知实数x,y,z满足,证明:.
20.(12分)已知数列中,(实数为常数),是其前项和,且数列是等比数列,恰为与的等比中项.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)若,当时,的前项和为,求证:对任意,都有.
21.(12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=2,点P在棱DF上.
(1)若P是DF的中点,求异面直线BE与CP所成角的余弦值;
(2)若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为,求PF的长度.
22.(10分)已知椭圆的左右焦点分别为,焦距为4,且椭圆过点,过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆与两点,点关于轴的对称点为,直线交轴于点.
(1)求的周长;
(2)求面积的最大值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
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