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2023-2024学年福建省华安一中高三数学第一学期期末经典模拟试题
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数,若,使得,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
2.在四面体中,为正三角形,边长为6,,,,则四面体的体积为()
A. B. C.24 D.
3.在中,,则()
A. B. C. D.
4.已知,,,则()
A. B.
C. D.
5.公比为2的等比数列中存在两项,,满足,则的最小值为()
A. B. C. D.
6.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图,则该几何体的体积是()
A. B. C. D.
7.如图1,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),现被风折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离三尺,问折断处离地面的高为()尺.
A. B. C. D.
8.已知是过抛物线焦点的弦,是原点,则()
A.-2 B.-4 C.3 D.-3
9.设正项等比数列的前n项和为,若,,则公比()
A. B.4 C. D.2
10.已知是函数图象上的一点,过作圆的两条切线,切点分别为,则的最小值为()
A. B. C.0 D.
11.集合,则集合的真子集的个数是
A.1个 B.3个 C.4个 D.7个
12.已知函数为奇函数,则()
A. B.1 C.2 D.3
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.小李参加有关“学习强国”的答题活动,要从4道题中随机抽取2道作答,小李会其中的三道题,则抽到的2道题小李都会的概率为_____.
14.已知函数为上的奇函数,满足.则不等式的解集为________.
15.等差数列(公差不为0),其中,,成等比数列,则这个等比数列的公比为_____.
16.已知,则_____
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.已知点的直角坐标为,过的直线与曲线相交于,两点.
(1)若的斜率为2,求的极坐标方程和曲线的普通方程;
(2)求的值.
18.(12分)已知抛物线:,点为抛物线的焦点,焦点到直线的距离为,焦点到抛物线的准线的距离为,且.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若轴上存在点,过点的直线与抛物线相交于、两点,且为定值,求点的坐标.
19.(12分)对于正整数,如果个整数满足,
且,则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.
(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数,设是的一个“正整数分拆”,且,求的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数,证明:;并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆”与,当且仅当且时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)
20.(12分)设函数.
(1)若函数在是单调递减的函数,求实数的取值范围;
(2)若,证明:.
21.(12分)平面直角坐标系中,曲线:.直线经过点,且倾斜角为,以为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程;
(2)若直线与曲线相交于,两点,且,求实数的值.
22.(10分)已知在平面四边形中,的面积为.
(1)求的长;
(2)已知,为锐角,求.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
试题分析:由题意知,当时,由,当且仅当时,即等号是成立,所以函数的最小值为,当时,为单调递增函数,所以,又因为,使得,即在的最小值不小于在上的最小值,即,解得,故选C.
考点:函数的综合问题.
【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题,其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查,试题思维量大,属于中档试题,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与化归思想的应用,其中解答中转化为在的最小值不小于在上的最小值是解答的关键.
2、A
【解析】
推导出,分别取的中点,连结,则,推导出,从而,进
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