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一类无穷远点的中心、拟等时中心条件与极限环分支的新刻画

实类已建系统的稳定性与极限环分支机构问题

在平面几何差分系统的定性理论中，中心和时间中心这两个经典问题一直吸引着许多数学工作者的兴趣，许多研究结果（见文献）。如果一个平面多项式系统的中心充分小邻域内闭轨族的周期函数为常数,则称之为等时中心。求系统等时中心条件常见的方法是,先求出中心的前面若干个周期常数,然后令这些周期常数为零从而获取等时中心的必要条件,最后证明条件的充分性。求周期常数的方法目前有几种如,原始的定义法,等时常数法等,但都具有计算复杂、不便应用的缺点。刘一戎、黄文韬在文中,把周期常数放入复域中全面考虑,给出了一种最新的算法,从而有效地克服了上述缺点。而对于多项式系统无穷远点这方面的研究还很少见,目前仅有一些关于无穷远点稳定性、极限环分支的结果(见文)。本文通过同胚变换把系统无穷远点化为原点来研究,同时考虑了一类五次多项式系统无穷远点中心、拟等时中心与极限环分支问题,获得了这类五次系统无穷远点拟等时中心的必要条件,然后利用多种有效途径证明了这些条件的充分性,最后由系统的中心条件与最高阶细焦点(细奇点)条件,构造出五次多项式系统在无穷远点分支出8个极限环的实例。

考虑平面实五次多项式系统:

其中δ,?Ak,j,Bk,j∈R

通过变换:z=x+yi,w=x-yi,Τ=it,i=√-1z=x+yi,w=x?yi,T=it,i=?1???√由系统(1)可以得到

则系统(2)的右端系数共轭,即

其中(k,j)∈{(1,0),(0,2),(2,1),(1,3),(4,0)},且有a21=b21=A21,记A21=r1.

再通过同胚变换:z=φ13/(φψ)23,w=ψ13/(φψ)23,Τ=13φ2ψ2Τ1z=φ13/(φψ)23,w=ψ13/(φψ)23,T=13φ2ψ2T1,由系统(2),且(φ,ψ,T1)仍以(z,w,T)记,可以得到

根据文,系统(3)有13个Lie-不变量

特别地,记

由系统(3)系数共轭则又可以经过变换:z=u+vi,w=u-vi,Τ=it,i=√-1z=u+vi,w=u?vi,T=it,i=?1???√,化为其伴随系统,即为一类实平面五次微分自治系统

系统(1)的Poincaré闭球面的赤道Γ∞为系统的轨线,其上没有实奇点,称Γ∞为系统的无穷远点,其稳定性与极限环分支问题则可转化为系统(6)原点的稳定性与极限环分支问题。通过极坐标变换:z=reiθ,w=re-iθ,T=it,由系统(3)可得到

对充分小的常数h,记系统满足r|θ=0=h的解为:

并记:

显然,v1(2π)-1=e-23πδ-1v1(2π)?1=e?23πδ?1,即为系统(6)原点的粗焦点量;v2k+1(2π),k=1,2,…,即为系统(6)δ=0原点的第k阶焦点量。由文复中心与复等时中心的定义可知:对充分小的常数h,如果?r(2π,h)≡hr?(2π,h)≡h,则原点为系统(3)δ=0或系统(6)δ=0的中心;如果?r(2π,h)≡h,τ(2π,h)≡2πr?(2π,h)≡h,τ(2π,h)≡2π,则原点为系统(3)δ=0或系统(6)δ=0的等时中心。

定义1.1如果原点为系统(3)δ=0或系统(6)δ=0的中心,则称无穷远点为系统(1)δ=0的中心;如果原点为系统(3)δ=0或系统(6)δ=0的等时中心,则称无穷远点为系数(1)δ=0的拟等时中心。

为0时,各有理性条件有

引理2.1对系统(3)δ=0,可逐项确定形式级数

使得

其中μm是系统(3)δ=0原点的第m个奇点量,且与系统原点的第m个焦点量v2m+1有代数等价关系:v2m+1～iμm,m=1,2,…。

运用引理2.1和计算机运算化简得

定理2.2系统(3)δ=0原点前8个奇点量为:

(I)当a13=b13=0或A2=0时,

(II)当a13b13≠0或A2≠0时,μ1=13Ι3μ1=13I3;令a40=pb13,b40=pa13,则

其中V6=A2222(5-120p+183p2-332p3+480p4)-60J1(1+2p).

(1)当(-1+p)(-1+4p)(1+2p)=0时,μ7=μ8=0.

(2)当(-1+3p)=0时,则

(3)当V6=0,p≠-1/2时,则

其中V7=75-1670p+1815p2-11464p3+17072p4-15744p5+36160p6;

对上述各μk,已经置其前k-1个量为零,即μ1=μ2=…=μk-1=0,k=2,3,…,8.根据