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2023年高考数学模拟试卷
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.定义,已知函数,,则函数的最小值为()
A. B. C. D.
2.函数在上的图象大致为()
A. B. C. D.
3.已知函数是偶函数,当时,函数单调递减,设,,,则的大小关系为()
A. B. C. D.
4.设,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案种数是()
A.18种 B.36种 C.54种 D.72种
6.已知平行于轴的直线分别交曲线于两点,则的最小值为()
A. B. C. D.
7.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的离心率等于()
A. B. C. D.
8.如图在直角坐标系中,过原点作曲线的切线,切点为,过点分别作、轴的垂线,垂足分别为、,在矩形中随机选取一点,则它在阴影部分的概率为()
A. B. C. D.
9.已知正方体的体积为,点,分别在棱,上,满足最小,则四面体的体积为
A. B. C. D.
10.在棱长为a的正方体中,E、F、M分别是AB、AD、的中点,又P、Q分别在线段、上,且,设平面平面,则下列结论中不成立的是()
A.平面 B.
C.当时,平面 D.当m变化时,直线l的位置不变
11.已知直线与圆有公共点,则的最大值为()
A.4 B. C. D.
12.如图所示,直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,则球的体积为()
A.1605π3 B.642
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,,,,,E,F分别为,的中点,,则球O的体积为______.
14.设全集,集合,,则集合______.
15.在数列中,,则数列的通项公式_____.
16.设函数,若存在实数m,使得关于x的方程有4个不相等的实根,且这4个根的平方和存在最小值,则实数a的取值范围是______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(1)求直线和圆的普通方程;
(2)已知直线上一点,若直线与圆交于不同两点,求的取值范围.
18.(12分)如图,已知四棱锥,平面,底面为矩形,,为的中点,.
(1)求线段的长.
(2)若为线段上一点,且,求二面角的余弦值.
19.(12分)已知为坐标原点,单位圆与角终边的交点为,过作平行于轴的直线,设与终边所在直线的交点为,.
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数在区间上的值域.
20.(12分)已知函数,,设.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)设方程(其中为常数)的两根分别为,,证明:.
(注:是的导函数)
21.(12分)设数列是等差数列,其前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:.
22.(10分)已知公比为正数的等比数列的前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据分段函数的定义得,,则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式,可求得函数的最小值.
【详解】
依题意得,,则,
(当且仅当,即时“”成立.此时,,,的最小值为,
故选:A.
【点睛】
本题考查求分段函数的最值,关键在于根据分段函数的定义得出,再由基本不等式求得最值,属于中档题.
2、C
【解析】
根据函数的奇偶性及函数在时的符号,即可求解.
【详解】
由可知函数为奇函数.
所以函数图象关于原点对称,排除选项A,B;
当时,,
,排除选项D,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性,属于中档题.
3、A
【解析】
根据图象关于轴对称可知关于对称,从而得到在上单调递增且;再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.
【详解】
为偶函数图象关于轴对称
图象关于对称
时,单调递减时,单调递增
又且
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