考研数学强化阶段重要题型攻略——概率论与数理统计(二)---.doc

2012考研数学强化阶段重要题型攻略—概率论与数理统计（二）

万学海文

利用全概率公式与贝叶斯公式解题时，判断概型、正确选择公式是关键.万学海文数学考研辅导专家们提醒广大的2012年的考生要弄清楚，全概率公式是计算由若干“原因”引起的复杂事件的概率；贝叶斯公式是用来计算复杂事件已发生的条件下，是由某一种“原因”引起的条件概率.考生对此题型的学习还需掌握：

(1)利用全概率公式和贝叶斯公式求解的题目中一般分为两个阶段：

eq\o\ac(○,1)全概率公式求解的是第二阶段某一结果的概率.

eq\o\ac(○,2)贝叶斯公式本质是条件概率，求解的是已知第二阶段发生某一结果，反求第一阶段某一结果的概率.

(2)用全概率公式解题的步骤：

eq\o\ac(○,1)判断求解的问题是否为全概率类型.

eq\o\ac(○,2)若是全概率，需设出事件及完备事件组.

eq\o\ac(○,3)计算，.

eq\o\ac(○,4)将eq\o\ac(○,3)的结果代入公式，计算最后结果.

【例】某厂家生产一批玻璃杯，这种玻璃杯的次品率是，现从这批玻璃杯中任取一件进行检验，由于检验技术存在缺陷，一件合格品被误判为次品的概率为，一件次品被误判为合格品的概率为.

(1)试求取出玻璃杯被检验认定是合格品的概率.

(2)试求若取出玻璃杯被判断为合格品，则该玻璃杯确定为合格品的概率.

(3)为谨慎起见，对取出的玻璃杯进行二次独立性检验，检验结果都认为是合格品，试求该玻璃杯确实为合格品的概率.

解(1)设=“取出的玻璃杯经检验是合格品”，它必然与取出的玻璃杯是合格品还是次品有关，设“取出的玻璃杯为合格品”，则“取出的玻璃杯为次品”.

，，，.

由全概率公式得

.

(2)根据题意，在已知检验结果为合格品的条件下，求该玻璃杯确实为合格品的概率，即.

因为.

故.

(3)根据题意，玻璃杯的检验分两次进行，经过第2次检验仍认为玻璃杯是正品，故设“对取出的玻璃杯经过第次独立检验被认为是合格品”，“取出的玻璃杯为合格品”，则在两次独立检验认为该玻璃杯都是合格品的条件下，该玻璃杯确实是合格品的概率为

，

为此要分别求，.由于，与独立，，，表示在取出合格品的条件下，第一次和第二次检验结果均为合格品的概率，因为各次均独立检验，故

，

因此

由全概率公式得

，

故

.

评注在利用全概率公式和贝叶斯公式进行解题时，全概率公式的关键在于正确判定概型并找出完备事件组，贝叶斯公式在多个条件下时会变得比较复杂，像本题的第三问，因此对贝叶斯公式要灵活应用，它是条件概率，当条件为多个时，分子变得复杂，除了要恰当表示事件外还要注意分子除了能用乘法公式展开外，如果将分子看做一个事件，还可以用全概率公式展开求解.

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