2023年上海高考数学满分复习攻略第06讲 任意角三角函数、诱导公式及恒等式(解析版).doc

第06讲任意角三角函数、诱导公式及恒等式

【考点梳理】

一、任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.

二、同角三角函数基本关系式与诱导公式

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tan__α.

2.三角函数的诱导公式

公式

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

eq\f(π,2)－α

eq\f(π,2)＋α

正弦

sinα

－sin__α

－sin__α

sin__α

cos__α

cos__α

余弦

cosα

－cos__α

cos__α

－cos__α

sin__α

－sin__α

正切

tanα

tan__α

－tan__α

－tan__α

口诀

函数名不变，符号看象限

函数名改变，符号看象限

三、解两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.

cos(α?β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.

tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2α＝2sin__αcos__α.

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).

3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).

[名师提醒]

1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ).

2.cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).

3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，

sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).

四、正弦定理和余弦定理

1.正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

公式

eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R

a2＝b2＋c2－2bccos__A；

b2＝c2＋a2－2cacos__B；

c2＝a2＋b2－2abcos__C

常见变形

(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；

(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；

(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；

(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；

cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；

cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

2.S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinA<a<b

a≥b

a>b

a≤b

解的个数

一解

两解

一解

一解

无解

五、解三角形的实际应用

1.仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).

2.方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2).

3.方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北