求逆矩阵方法.doc

1.求逆矩阵方法的应用之一

例

解：

四，知识拓展

2．求逆矩阵方法的应用之二

利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A︱E)经过初等行变换，原来A的位置不能变换为单位阵E，那么A不可逆。

例

解：

而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A不可逆。

3．求逆矩阵方法的应用之三

利用矩阵初等行变换解矩阵方程（“润物细无声”）

对一般的矩阵方程求解，我们可以先求，然后求X＝B。

现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。

其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求就是求解矩阵方程的解，而对一般的矩阵方程只要将中的E换成B，然后利用初等行变换，即

其中的B即为所求矩阵方程的X。

例

解：

五、小结

1.矩阵初等行变换：求逆、判断矩阵是否可逆、解矩阵方程

2.思考：若XA=B，如何用初等变换法求X?

首先介绍“代数余子式”这个概念：

设D是一个n阶行列式，aij（i、j为下角标）是D中第i行第j列上的元素。在D中把aij所在的第i行和第j列划去后，剩下的n-1阶行列式叫做元素aij的“余子式”，记作Mij。把Aij=(-1)^(i+j)*Mij称作元素aij的“代数余子式”。（符号^表示乘方运算）

其次，介绍伴随矩阵的概念

设E是一个n阶矩阵，其矩阵元为aij。则E的伴随矩阵E为

A11A12……A1n

A21A22……A2n

……

An1An2……Ann

的转置矩阵。

E中的矩阵元Aij就是上面介绍的代数余子式。

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对于三阶矩阵

a11a12a13

a21a22a23

a31a32a33

首先求出各代数余子式

A11=(-1)^2*(a22*a33-a23*a32)=a22*a33-a23*a32

A12=(-1)^3*(a21*a33-a23*a31)=-a21*a33+a23*a31

A13=(-1)^4*(a21*a32-a22*a31)=a21*a32-a22*a31

A21=(-1)^3*(a12*a33-a13*a32)=-a12*a33+a13*a32

……

A33=(-1)^6*(a11*a22-a12*a21)=a11*a22-a12*a21

然后伴随矩阵就是

A11A12A13

A21A22A23

A31A32A33

的转置矩阵AT（T为上标）

第一行为主元，A11

以下第I行Aij减去Ai1/A11*A1j。。。。

（行列式中，把某一行的所有对应元素乘以某一个数加到另一行上面去，行列式值不变）

然后把第一列化成0

同理。。。可以把左下角的数字全部化成0.。。。

比如

1-102

0-1-12

-12-10

2110

-》

1-102

0-1-12

01-12

031-4

-》

1-102

0-1-12

00-24

00-22

-》

1-102

0-1-12

00-24

000-2

然后变成三角形行列式，直接将对角线数字乘起来就行了。。

原式=-1×-2×-2=-4

计算行列式：（4阶）第一行：0xyz，第二行：x0zy第三行：yz0x第四行：zyx0

把234行加到第一行

提取第一行的x+y+z

用第一行第一列的1消去二三四行的第一列

按第一列展开，得到三阶行列式

把第三行加到第二行

提取第二行的x-y-z

用第三列减第二列

按第二行展开，得到二阶行列式