第2讲 集合的运算辅导讲义-上海市初高衔接数学.docx

高一暑假

高一暑假数学第2讲

集合的运算

高一年级的同学报名参加数学建模组与数学思维组.

除该高一年级的全体同学组成的集合外，还有参加数学建模组的同学组成的集合，参加数学思维组的同学组成的集合，两个组都参加的同学组成的集合，两个组中至少参加一个的同学组成的集合，此外，还有未参加数学建模组的同学组成的集合，等等.

可以看到，集合等都是集合的子集，集合是由集合与的公共元素组成的，集合是由集合A与B的所有元素组成的，集合是由集合中去掉中的元素后剩下的元素组成的.

在数学上，集合称为全集，称为与的交集，称为与的并集，称为在全集中的补集.

本节我们要从已知的集合出发，通过“交、并、补”的运算得到新的集合.

1.交集、并集、补集

（1）交集

首先，我们可以对任意两个集合取公共元素，从而得到一个新的集合.

定义

定义 由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集，记作（读作“A交B”），即

.

文氏图反应三种不同情况：

（1）集合与既有公共元素，又有非公共元素，阴影部分同时是集合与的真子集；

（2）集合A是集合B的子集，此时；

（3）集合与没有公共元素，此时；

归纳交集运算的性质：

归纳交集运算的性质：

，，；

例

例1.1

（新课程优选★☆☆☆☆）已知集合，，，，求，并说明它们的意义.

【答案】A∩B=[0,+

【解答】

解:

，

所以，这是两个区间的公共部分.

C∩D=(x,y

C∩

C∩D表示方程组

也可以理解为一次函数y=10-3x与二次函数y

例

例1.2

（2019七宝中学期中★★☆☆☆）若集合，若，则实数.

【答案】-2

【解答】

解：

集合，，，，，，

或，

解得实数．

故答案为：．

例

例1.3

（2020杨浦区期中★★★☆☆）已知集台，，，，且非空，则实数的取值范围是.

【答案】[2,+

（2）并集

我们可以把两个已知集合的所有元素放在一起组成一个新的集合.

定义

定义 由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“并”，即

文氏图直观反映的三种不同情况如下所示：

（1）集合与既有公共元素，又有非公共元素，此时集合与都是的真子集；

（2）集合是集合的子集，此时；

（3）集合与没有公共元素，此时和（1）类似，集合与都是的真子集；

归纳并集运算性质：

归纳并集运算性质：

，，

例

例1.4

（新课程优选★☆☆☆☆）已知集合，，则=．

【答案】A∪

例

例1.5

（新课程优选★★★☆☆）已知集合，且，求实数的取值范围.

【答案】(-∞

【解答】

解：

首先把集合在数轴上表示出来，再表示出集合，使之满足，结合数轴，可知，所求实数的取值范围是.

2

2

（3）补集

定义

定义 当我们研究某个领域的问题时，通常把该领域内的全体对象组成特定的集合叫做全集，常用符号表示，全集含有该领域内各个集合的全部元素.

若集合是全集的一个子集，那么属于而不属于的元素构成的集合，又是一种怎样的运算呢，他与数的哪一种运算具有相似性呢？这就是我们将要继续研究的“补集”：

定义

定义 设全集为，是的子集，则由中所有不属于的元素组成的集合叫做集合在全集中的补集，记作“”，读作“补”.即.

有些资料中，也用符号表示集合在全集中的补集.

用文氏图表示集合在全集中的补集.通常用一个矩形来表示全集，矩形内的一个圆表示的子集.于是在矩形内但在圆外的阴影部分表示的补集；

归纳补集运算性质：

归纳补集运算性质：

；；

例

例1.6

（新课程优选★☆☆☆☆）已知全集，则（）．

A. B. C. D.

【答案】D

例

例1.7

（新课程优选★★☆☆☆）已知全集，求实数的值.

【答案】a=2

【解答】

由题意可知，.

当时，，合题意.

当时，，不合题意，舍去.

因此，所求实数.

练习

练习1

1.（新课程优选★★★☆☆）已知集合或，，若中恰好含有2个整数，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【解答】

解：

根据题意，，

若，则，仅含有一个整数，不合题意；

若，则或，其中恰好含有2个整数，

则．

故选：．

2.（新课程优选★★★☆☆）已知集合，当时，求实数的取值范围.

【答案】(-∞,2]

3.（新课程优选★★★☆☆）已知全集为，集合，，若，则（）

A．B． C． D．

【答案】C

【解答】

解：

，，，，且，

，

，．

2.集合的运算与集合的关系

若，则有什么关系？

若，则有什么关系？

若，则有什么关系？.

若

若，则