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曲线过定点问题的探究

罗定中学莫森岳

摘要：高中数学中的恒过定点问题，特别是确定带参数的曲线恒过定点问题中参数的范围为任意值时曲线方程过定点的问题，错综复杂。曲线过定点问题涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等的性质、图象，渗透着数形结合、函数与方程等思想方法，许多考生对解决此类问题往往感到很难，得分率低．本文对此类问题的在代数与几何方面的求解策略作一些探讨。

关键词：特殊值分离参数数形结合平移对称反函数

方程的曲线过定点问题是高中数学中常见的问题。平面解析几何图形中的定值问题是指按照一定条件构建几何图形或数量关系,根据题意可得某些元素在在一定的范围内变化时，与它有关的某个量保持恒定关系的一类问题。此类问题错综复杂，针对不同的题型有不同的的解决方法。数学在解题过程其中包括有两大方面，一些题型运用代数知识来解可能会比较方便，另一些用几何知识来解决可能会方便一点。根据不同的题目我们选用不同的解题方式，这样达到我们舍取得当的效果解决问题起来也就方便多了。以下分别从代数和几何两方面对曲线过定点问题的解题策略进行了一些探讨.

一、代数方面解题策略

（一）、特殊值法

曲线恒过定点问题,实际上是对于参变量k在所有给定范围内取值,方程的曲线都通过定点。此时在参变量k的给定范围内的个别特殊值.,所得到的方程的曲线也应通过同一定点。因而只要设出参变量的几个特殊值,所得到关于X,Y方程组,解之验证得.

无论K取任何实数时,直线(2k-1)x+-(k-3)y-(k-11)=0恒过一定点,求这个定点.

分析:因方程对于任意的k,所表示曲线都过定点,该定点即为通过它的两曲线的交点,该交点只需设k的两个不同的值(可根据题意而设)得到关于x,y的方程联立解得.

解:分别令k=0,1得:

把x=2y=3代入原方程得(2k-1)×2+(-K-3)×3-(K-11)=0对于所有k∈R恒成立,则有直线方程恒过定点(2,3)

说明:因为直线系所过的定点,就是直线系中任意两条直线的交点,故可以任取参数的两个不同的值代入直线系(或曲线系),联立求解,得出两特定直线(或曲线)的交点坐标,但还需将求得的交点人坐标代入原直线(或曲线)的方程进行检验,则该点坐使得方程恒等于0，则该点坐标就是直线(或曲线)恒过的定点.

(二)、分离参数法

1、含一个参变量的曲线系过定点的问题

若曲线系方程可整理成关于的n次多项式，，则欲使曲线系过定点，只要使关于参数λ的n次多项式的各项系数为0，即(x,y)=0(i=0,1,2……n)解此方程，有解——则可知曲线系所过的定点，若无解——则可知曲线系不过定点。

例2、求证：直线（2+8m+3）x-(3+m-4)y+4-6m-11=0无论m取什么实数时必过定点，并求这个定点坐标。

分析：此题的解题思路与例2直线系过定点问题有点相似。首先参数分离，参数所有系数都为0。在这个方程里的方程分离法要注意，将这里的参数m按照降幂的顺序排列，然后再分别找出这此参数之间的系数，再可以讨论其系数满足的条件。即找出、m的系数与不含m的项，它们都为0时，无论m取何值时，方程都成立。

解：将原方程按m的降幂整理得

（2x-3y+4）+m(8x-y-6)+(3x+4y-11)=0

x=1,y=2

所以直线过定点（1，2）

说明：分离能数将所有参数系数组成方程组，若方程组有解则可知直线（或曲线）过定点，若方程组无解，则曲线运动不过定点

2、含两个参变量的曲线系过定点的问题

若曲线系是含两个参数、的方程，f(x,y)+g(x,y)=h(x,y)（1）其中、满足某一线性条件A+B=C（A、B、C为常数），则此类问题可按以下的步骤解之：

第一步、设曲线系过定点（，）代入上述（1），有

(2)

此时，可视上面两式对应着关于，的两条直线方程。

第二步、既然曲线系过定点（，），哪么上述关于，的方程组有无穷个解或重合，所以有：

（3）

当其中一个分母为0时,就认为相应的分子也为0,如C=0,AB0,则(3)可以写成

(4)

若A=B=0,则可认为(3)式为

(5)

第三步、解(3)【或(4)或(5)】,若无解,则曲线系不过定点；若有一解,则曲线系过一定点；若有n个解,则曲线系过n个定点。

例3、证明:若a,b满足2a-3b=1,那么直线ax+by=5必