芜湖一中研究性学习课题论文——蝴蝶定理.doc

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芜湖一中研究性学习课题论文

——关于蝴蝶定理证法的研究

制作人：高二（14）班

江翔宇

蝴蝶定理

高二14江翔宇

蝴蝶定理（Butterflytheorem）最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形（如图1）形象奇特，貌似蝴蝶，便以此命名。

蝴蝶定理过圆的弦的中点引任意两弦，联结交于，则。

关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法。其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。

由于其证明的奇妙性和包容性，下举几例以供学习。

证法1如图2，作，则垂足分别为的中点，且由于

得共圆；共圆。

则

又，为的中点，从而

，

则

于是。

证法2过作关于直线的对称点，如图3所示，则

eq\o\ac(○,1)

联结交圆于，则与关于对称，即

。又

故四点共圆，即

而eq\o\ac(○,2)

由eq\o\ac(○,1)、eq\o\ac(○,2)知，

故。

证法3如图4，设直线与交于点。对及截线，及截线分别应用梅涅劳斯定理，有

，

由上述两式相乘，并注意到

得

化简上式后得。

证法4（Steven给出）如图5，

并令

由

即

化简得

即

从而

证法5令，以点为视点，对和分别应用张角定理，有

上述两式相减，得

设分别为的中点，由，有

于是

而，知，故

证法6（单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为

直线的方程为，直线的方程为

由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为

令，知点和点的横坐标满足二次方程

由于的系数为，则两根和之和为

即，故。

证法7如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为

直线、的方程可写为

,

又设的坐标为

则分别是二次方程

的一根。在轴上的截距为

同理，在轴上的截距为

注意到是方程的两根

是方程的两根，所以

从而易得

即。

证法8如图8，以为极点，为极轴建立极坐标系。因三点共线，令

则

即eq\o\ac(○,1)

eq\o\ac(○,2)

作于，作于。注意到

eq\o\ac(○,3)

由与可得

eq\o\ac(○,4)

将eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)代入eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)可得，即。

蝴蝶定理的证法多得不胜枚举，以上只是它的几种比较基本的证法。这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志《男士日记》（GentlemansDiary）39-40页上。登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发现了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个个证明由理查德·泰勒（RichardTaylor）给出。另外一种早期的证明由M.布兰德（MilesBland）在《几何问题》（1827年）一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J·开世在ASequeltotheFirstSixBooksoftheElementsofEuclid（中译：近世几何学初编，李俨译，上海商务印书馆1956）给出，只有一句话，用的是线束的交比。1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（KesirajnSatyanarayana）用解析几何的一种比较简单的方法（利用直线束，二次曲线束）。

从本质上说，蝴蝶定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，它具有多种形式的推广：

1.M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。

2.圆可以改为任意二次曲线。

3.将圆变为一个完全四角形，M为对角线