2011-2012第二学期及答案.doc

一、填空题(每空3分，共15分)：

1.已知矩阵A=的(1,2)元素的代数余子式A12=1，则A的行列式|A|=________

2.设有3阶方阵A=，B=，其中?，?，?1，?2均为3维行向量，且已知行列式|A|=24，|B|=3，则行列式|A?B|=________

3.设矩阵A=，B=，则ABT=__________

4.矩阵A=的非零特征值是________

5.设n阶方阵A有n个特征值0，1，2，???，n?1，且方阵B与方阵A相似，则行列式|B+E|=_____

二、选择题（每题3分，共15分）

1.非齐次线性方程组有唯一解，对?的要求是()

(A)??1，??2(B)???1，??2(C)??1，???2(D)???1，???2

2.设A，B均为n阶方阵，E为n阶单位阵，且A(B?E)=O，则()

(A)A=O或B=E(B)|A|=0或|B?E|=0(C)|A|=0或|B|=1(D)A=BA

3.如果向量?可由向量组?1,?2,???,?s线性表示，则下列结论正确的是()

(A)存在一组不全为零的数k1,k2,???,ks，使等式?=k1?1+k2?2+???+ks?s成立

(B)存在一组全为零的数k1,k2,???,ks，使等式?=k1?1+k2?2+???+ks?s成立

(C)存在一组数k1,k2,???,ks，使等式?=k1?1+k2?2+???+ks?s成立

(D)对?的线性表达式唯一

4.设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，若线性方程组AX=0有无穷多个解，则方程组ATAX=0()

(A)有无穷多个解(B)无解(C)只有唯一解(D)解的情况无法判断

5.与矩阵相似的对角矩阵为()

(A)(B)(C)(D)

三、计算题（10分）：计算n阶行列式Dn=

四、计算题（12分）：已经矩阵A=，且A2?AB=E.求矩阵B

五、解答题（12分）：设有非齐次线性方程组，问：k1和k2各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多组解？在方程组有无穷多组解的情况下，试求出一般解

六、计算题（12分）：求矩阵A=的特征值和特征向量

七、计算题（8分）：当?取何值时，二次型f=x12+4x22+4x32+2?x1x2?2x1x3+4x2x3为正定的

八、计算题（10分）已知向量组：?1=，?2=，?3=的秩为2，且?3可由?1=，?2=线性表示，求a，b的值

九、证明题（6分）：设n阶方阵A，B，满足A+B=AB，证明：A?E可逆，并求A?E的逆转

一、1.72.23.4.45.n!

二、1.C2.B3.C4.A5.D

三、原式===n+1

四、|A|?0?A?

A2?AB=E?A(A?B)=E?A?B=A?1?B=A?A?1

(A,E)=?

?A?1=?B=

五、(A,b)=?

k1=2?(A,b)??R(A)=3

k2=1?R(A,b)=3=R(A)4?方程组有无穷多个解

k2?1?R(A,b)=4?R(A)?方程组无解

k1?2?R(A)=4=R(A,b)?方程组有唯一解

k1=2，k2=1时，(A,b)??

?特解：?*=，?=

?原方程组的一般解为：X=?*+k?

六、|?E?A|=(??2)3?特征值为：?1=?2=?3=2

?1=?2=?3=2?线性无关的特征向量p1=，p2=

则A的对应于?1=?2=?3=2的全部特征向量是k1p1+k2p2(k1,k2不全为零)

七、A=

|1|0，0?4??20??2?2

|A|0??4(?+2)(??1)0??2?1

综合得：?2?1

八、|?1,?2,?3|==3b?a=0

|?3,?1,?2|==2b?10=0

综合得：a=15，b=5

九、A+B=AB?A+B?AB+E?E=0?A(E?B)+(B?E)=

?(A?E)(E?B)=?E?(A?E)(B?E)=E?(A?E)?1=B?E