项目十多元微分学 教案 《高等数学》（高教版）.docVIP

项目十多元函数微分学

任务10.1多元函数的概念、极限及连续

教学目标：了解空间直角坐标系及其相关概念；知道多元函数的概念及二元函数的几何表示；会求多元函数的定义域；会求简单二元函数的极限；了解二元连续函数的性质；能够利用多元函数解决实际问题，解决专业案例.

教学重点：空间直角坐标系，多元函数的概念.

教学难点：多元函数的定义域;简单二元函数的极限.

授课时数：2课时

教学过程：

10.1.1多元函数的的概念

在工程实际问题中，往往会遇到多个变量（两个以上）之间的相互依赖关系.

实例1矩形的面积和它的底与高的关系是

；

实例2根据实验结果知道，一定质量的理想气体，它的压强和体积、绝对温度之间关系是

（其中是常数）.

实例3三角形的面积和它的两边、及其夹角间关系是

等等.

上述实例中的代数表达式反映了三个或三个以上变量之间的依赖关系.即当等式右端某变量（等式右端变量彼此独立）发生变化时，必致导等号左端变量发生变化.

尽管等式右边变量相互独立，但它们的变化都有一定的范围.如实例1中的独立变量底和高只能取正值，用数学语言可表示为，，否则关系式会失去实际意义；再如实例3中的、只能取正值，夹角受一定的限制：.

以上仅列举了有限的实例，在生产和工程建设中，还会碰到大量的实例.这些实例的共同特点是一个变量依赖于其他二个或二个以上的变量而变化，事实上它们的这种关系就是我们要学习的多元函数.

定义10-1设是平面点集（在平面上引入直角坐标系后，满足一定属性的点的集合），是一个实数集，若按照某一确定的对应规律，对于中的任意一点总有唯一确定的实数与它相对应，则称是变量，的二元函数，记作.其中，称为自变量，称为因变量，称为函数的定义域，数集

称为该函数的值域.

当然，我们也可以定义三元函数、四元函数等.把具有多个自变量的函数，统称为多元函数.对于函数，当自变量，分别取值，时，函数的对应值记作.

求二元函数定义域方法与一元函数类似，需要找出使函数解析式有意义的自变量的范围．一元函数定义域一般由一个或多个区间构成，而二元函数定义域通常是平面区域，该平面区域由平面上一条或多条光滑曲线所围成的具有连通性（区域内任意两点，均可用该区域内的线连接起来）的部分平面或整个平面，其中围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点.包括边界的区域称为闭区域（简称闭域），不包括边界的区域称为开区域（简称开域）．

例1求二元函数的定义域．

解函数的定义域为满足不等式点的范围，即定义域为

．

这里表示面上以原点为圆心，为半径的圆域，它为有界闭区域(如图10-1)．

图10-1图10-2

例2求二元函数的定义域．

解自变量所取的值必须满足不等式，即定义域为

．

表示在面上直线上方的半平面(不包含边界)，如图10-2所示，它为无界开区域．

随堂练习

计算下列函数的定义域

（1）；（2）；（3）.

10.1.2二元函数的几何表示

一元函数在平面直角坐标系中一般表示一条曲线，二元函数在空间直角坐标系中一般表示曲面．设二元函数它的定义域为，对于定义域为内的每一对数，，都确定着平面上的一点（图10-3）；由二元函数的定义，必有一个的值与之对应，那么三个数，，就确定了空间内一点.当点取遍上的一切点时，对应的点就形成一张曲面.因此，二元函数在空间直角坐标系中一般表示一张曲面.通常我们也说二元函数的图形是一张曲面（也可能是一条曲线）.而其定义域就是此曲面在面上的投影．

图10-3例3作二元函数的图形．

图10-3

解此函数的定义域为面．因为，所以曲面上的点

都在面上方．其图形为面上的抛物线绕轴旋转一

周所得的旋转抛物面，如图10-4所示．

例4作二元函数的图形．

解定义域为，即面上以原点为圆心，为半径的圆域．，其图形为半球面，如图10-5所示．

图10-4图10-5

【注意】作二元函数图像大多需要借助数学软件（matlab、mathmatica等软件）才能完成.

10.1.3二元函数的极限

二元函数的极限定义与一元函数的极限定义在文字叙述上是类似的,但是在自变量变化过程的方式上，二元函数极限比一元函数极限要复杂得多.

回忆一元函数的极限：若当（可以是无穷远点）时，有(唯一），则为函数的极限.

由于始终在轴上变化