高中数学人教A版第四章圆和方程课时提升作业(二十五).docxVIP

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课时提升作业(二十五)

圆的一般方程

(25分钟60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

(3,0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点,则过M的最长的弦所在的直线方程是

()

+y-3=0 =0

=0 +y-6=0

【解析】选B.由题意,过M(3,0)的最长的弦所在的直线为直径.x2+y2-8x-2y+10=0的圆心为(4,1),所以所求直线斜率为1-0

2.(2023·西宁高一检测)已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+8=0,那么经过圆心的一条直线的方程是()

+1=0 +y+1=0

=0 +y-1=0

【解析】选B.把x2+y2-2x+6y+8=0配方得(x-1)2+(y+3)2=2,圆心为(1,-3),直线2x+y+1=0过圆心.

【补偿训练】将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是()

+y-1=0 +y+3=0

+1=0 +3=0

【解析】选C.因为圆心是(1,2),所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.

3.(2023·张掖高一检测)若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点,则()

=0,E=0,F≠0

=0,D≠0,E≠0

=0,F=0,E≠0

=0,F=0,D≠0

【解析】选C.由于(0,0)在圆上,代入圆的方程可得F=0;因为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点,所以圆心的横坐标为0,即-D2=0,所以D=0;由D2+E2-4F0,可得E2

4.已知圆C过点M(1,1),N(5,1),且圆心在直线y=x-2上,则圆C的方程为

()

+y2-6x-2y+6=0

+y2+6x-2y+6=0

+y2+6x+2y+6=0

+y2-2x-6y+6=0

【解析】选A.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为-D

由题设可得-

解得D=-6,E=-2,F=6,所以圆的方程为x2

5.(2023·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()

A.53 B.213 C.253

【解析】选B.圆心在直线BC的垂直平分线即x=1上,

设圆心D(1,b),

由DA=DB得|b|=1+(b-3)

所以圆心到原点的距离为

d=12+2

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.(2023·延安高一检测)圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3,则m的值为.

【解析】由x2+y2+2x-4y+m=0可得(x+1)2+(y-2)2=5-m,所以r=5-m=32,所以m=

答案:11

7.(2023·大理高一检测)在△ABC中,若顶点B,C的坐标分别是(-2,0)和(2,0),中线AD的长度是3,则点A的轨迹方程是.

【解析】中点D(0,0),由于|AD|为定长3,所以A点在以D为圆心,3为半径的圆上,而A,B,C不共线,即点A的纵坐标不能为0,故圆的方程为x2+y2=9(y≠0).

答案:x2+y2=9(y≠0)

【补偿训练】当动点P在圆x2+y2=2上运动时,它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为.

【解析】设Q(x,y),P(a,b),

由中点坐标公式x=a+3

点P(2x-3,2y-1)满足圆x2+y2=2的方程,所以(2x-3)2+(2y-1)2=2,化简得x-322+

答案:x-322

8.△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,0),B(3,0),C(3,4),则该三角形外接圆方程是.

【解析】易知弦AB中垂线方程为x=2,弦BC中垂线方程为y=2.两中垂线交点(2,2)即为圆心,半径r=(2-1)2+(2-0)2=

答案:(x-2)2+(y-2)2=5

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.求经过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的一般方程.

【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

将A,B,C三点的坐标代入方程,整理可得

D-E+F=-2,D+4E+F=-17,

故所求的圆的一般方程为x2+y2-7x-3y+2=0.

【延伸探究】本题中若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,又如何求a的值?

【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

将A,B,C三点的坐标代入方程,整理可得

D-E+F=-2,D+4E+F=-17,4D-2E+F=-20,解得QUOTED=-7,E=-3,

故所求的圆的一般方程为x2+y2-7x-3y+2=0.又因为点M(a,2)在所求的圆上,故a2-7a=0,解得a=0或a