第24讲 《整式的乘除与因式分解》全章复习与巩固（含答案析）-八年级数学上册课堂讲义（人教版）.docx

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教学内容

整式的乘除与因式分解全章复习与巩固

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、幂的运算

1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

2.幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.

3.积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.

4.同底数幂的除法：(≠0,为正整数，并且).

同底数幂相除，底数不变，指数相减.

5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.

要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.

要点二、整式的乘法和除法

1.单项式乘以单项式

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

2.单项式乘以多项式

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).

3.多项式乘以多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.

要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.

4.单项式相除

把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.

5.多项式除以单项式

先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.

即：

要点三、乘法公式

1.平方差公式：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.

2.完全平方公式：；

两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.

要点四、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.

要点诠释：落实好方法的综合运用：

首先提取公因式，然后考虑用公式；

两项平方或立方，三项完全或十字；

四项以上想分组，分组分得要合适；

几种方法反复试，最后须是连乘式；

因式分解要彻底，一次一次又一次.

【典型例题】

类型一、幂的运算

1、计算下列各题：

（1）（2）

（3）（4）

【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘.

【答案与解析】

解：（1）．

（2）

．

（3）

．

（4）

．

【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别．

举一反三：

【变式】当，＝4时，求代数式的值．

【答案】

解：.

1、已知，求的值．

【思路点拨】由于已知的值，所以逆用幂的乘方把变为，再代入计算．

【答案与解析】

解：∵，

∴．

【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．

举一反三：

【变式】（1）已知，比较的大小.

（2）比较大小。

【答案】

解：（1）；（2）

提示：（1）转化为同指数不同底数的情况进行比较，指数转化为12；

（2）转化成比较同底数不同指数，底数转化为3.

类型二、整式的乘除法运算

2、解下列不等式．

（1）

（2）

【答案与解析】

解：（1），

，

．

（2），

．

【总结升华】利用乘法法则进行去括号、合并同类项，按照解一元一次不等式的方法求解．

3、已知，求的值．

【思路点拨】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到的值即可代入求值．

【答案与解析】

解：由已知，得，

即，，，

解得，，．

所以．

【总结升华】也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到的值.

举一反三：

【变式】（1）已知，求的值．

（2）已知，，求的值．

（3）已知，，求的值．

【答案】

解：（1）由题意，知．∴．

∴，解得．

（2）由已知，得，即．由已知，得．