第24讲 《整式的乘除与因式分解》全章复习与巩固(含答案析)-八年级数学上册课堂讲义(人教版).docx

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学科教师辅导教案

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教学内容

整式的乘除与因式分解全章复习与巩固

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、幂的运算

1.同底数幂的乘法:(为正整数);同底数幂相乘,底数不变,指数相加.

2.幂的乘方:(为正整数);幂的乘方,底数不变,指数相乘.

3.积的乘方:(为正整数);积的乘方,等于各因数乘方的积.

4.同底数幂的除法:(≠0,为正整数,并且).

同底数幂相除,底数不变,指数相减.

5.零指数幂:即任何不等于零的数的零次方等于1.

要点诠释:公式中的字母可以表示数,也可以表示单项式,还可以表示多项式;灵活地双向应用运算性质,使运算更加方便、简洁.

要点二、整式的乘法和除法

1.单项式乘以单项式

单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.

2.单项式乘以多项式

单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.即(都是单项式).

3.多项式乘以多项式

多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.即.

要点诠释:运算时,要注意积的符号,多项式中的每一项前面的“+”“-”号是性质符号,单项式乘以多项式各项的结果,要用“+”连结,最后写成省略加号的代数和的形式.根据多项式的乘法,能得出一个应用比较广泛的公式:.

4.单项式相除

把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.

5.多项式除以单项式

先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.

即:

要点三、乘法公式

1.平方差公式:

两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.

要点诠释:在这里,既可以是具体数字,也可以是单项式或多项式.

平方差公式的典型特征:既有相同项,又有“相反项”,而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.

2.完全平方公式:;

两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.

要点诠释:公式特点:左边是两数的和(或差)的平方,右边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍.

要点四、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.

因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.

要点诠释:落实好方法的综合运用:

首先提取公因式,然后考虑用公式;

两项平方或立方,三项完全或十字;

四项以上想分组,分组分得要合适;

几种方法反复试,最后须是连乘式;

因式分解要彻底,一次一次又一次.

【典型例题】

类型一、幂的运算

1、计算下列各题:

(1)(2)

(3)(4)

【思路点拨】按顺序进行计算,先算积的乘方,再算幂的乘方,最后算同底数的幂相乘.

【答案与解析】

解:(1).

(2)

(3)

(4)

【总结升华】在进行幂的运算时,应注意符号问题,尤其要注意系数为-1时“-”号、括号里的“-”号及其与括号外的“-”号的区别.

举一反三:

【变式】当,=4时,求代数式的值.

【答案】

解:.

1、已知,求的值.

【思路点拨】由于已知的值,所以逆用幂的乘方把变为,再代入计算.

【答案与解析】

解:∵,

∴.

【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力.

举一反三:

【变式】(1)已知,比较的大小.

(2)比较大小。

【答案】

解:(1);(2)

提示:(1)转化为同指数不同底数的情况进行比较,指数转化为12;

(2)转化成比较同底数不同指数,底数转化为3.

类型二、整式的乘除法运算

2、解下列不等式.

(1)

(2)

【答案与解析】

解:(1),

(2),

【总结升华】利用乘法法则进行去括号、合并同类项,按照解一元一次不等式的方法求解.

3、已知,求的值.

【思路点拨】利用除法与乘法的互逆关系,通过计算比较系数和相同字母的指数得到的值即可代入求值.

【答案与解析】

解:由已知,得,

即,,,

解得,,.

所以.

【总结升华】也可以直接做除法,然后比较系数和相同字母的指数得到的值.

举一反三:

【变式】(1)已知,求的值.

(2)已知,,求的值.

(3)已知,,求的值.

【答案】

解:(1)由题意,知.∴.

∴,解得.

(2)由已知,得,即.由已知,得.

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