线性规划应用案例.docx

板材下料优化方法案例

本案例以上海某柴油机厂某车间某年某月所需3种2mm厚度的板材零件下料为例，说明线性规划在下料中的应用及其在提高材料利用率方面所能产生的显著经济效益。同时，该案例所介绍的工作流程还是一种非常简单实用、便于操作、效果良好的板材下料优化方法，可供各企业在生产中参考运用。

一．板材下料优化方法的特点及其工作流程

用线性规划求解最优下料方案，通常要求首先设计出所有可行合理的下料方式，然后建立LP模型求解最优下料方案。由于板材下料是典型的二维下料，每一种下料方式对应一张排料图，在零件种类较多的情况下，要绘制出所有可行且合理的排料图，不仅工作量非常巨大，而且也是不现实的。为减少绘制排料图的工作量，同时又能达到良好的效果，我们在此给出了一种高效的板材下料优化方法的工作流程。该工作流程有如下特点：

对绘制排料图的要求不高。开始时，只需选作少量包含各种零件且材料利用率较高的排料图，这不仅可简化绘图工作量，还可简化模型。

对所得最优解进行最优化后分析。若初始最优解效果不理想，则通过有针对性地再增绘少量排料图后重新求解，通常就可达到事半功倍的效果（该步骤属于将在第十一章介绍的敏感性分析中的“增加新的决策变量”，但我们是用计算机求解，故可不涉及敏感性分析的概念）。

通常板材下料问题中的变量应当是整数，若采用整数规划求解，则显然会使材料利用率降低。这里我们先采用线性规划求解，对得到的最优解通过舍去小数部分取整，对取整后的零件短缺数，再绘制少量排料图解决。此“取整修正”方法可比使用整数变量求解得到更高的材料利用率。

将零件分类

将零件分类

绘制少量排料图

建立LP模型

求最优解

Yes

满意吗？

No

增绘新排料图

重新建模求解

取整修正

得到最优下料方案

图1 板材下料优化方法工作流程

二．实际操作中的几点注意事项

绘制排料图时的注意事项

为简化排料图的绘制，排料前应先将零件进行分类，一般可分为以下三类：

零件边长大于钢板短边的一类。此类零件在钢板上只有一种排法，对材料利用率影响较大，应注意利用余料安排其他尺寸较小的零件。

零件两边均小于钢板短边的一类。此类零件排料组合情况较多，应注意不同零件的搭配。

零件尺寸较小、或某边长与钢板某边长成倍比关系的一类，此类零件单一下料利用率高。

绘制排料图时，应先考虑第一类零件，其次搭配好第二类零件，最后将第三类零件作为余料的填充件，数量较大的第三类零件则还应绘制单一下料图。

简化模型的方法

在下料问题的LP模型中，每种零件对应一个约束条件，当一批下料任务中零件种类较多时，不仅会使排料工作复杂化，而且LP模型也会相应复杂，此时可按以下方法进行简化处理。

对尺寸不大且数量较少的零件，在排料时可暂不考虑，它们通常可在取整修正阶段一起解决。

对数量相同，且某边长也相同或相近的两种或多种零件，可组合成一种“新零件”进行排料和建模。

三. 应用案例

上海某柴油机厂某月需要3种2mm厚的板材零件，其工艺尺寸、需要量和单一下料利用率等数据见表1。

材料尺寸（mm）零件号

材料尺寸

（mm）

零件号

零件尺寸

需要量

每张钢板

钢板需

单一下料

1000×

2000×2

（mm）

可下料数

要量

利用率%

1#

260×258

500

21

24

69.88

2#

240×257.6

600

28

22

84.31

3#

840×195

250

11

23

89.02

合

计

69

80.86

可见，如果采用以往的单一下料方法，则这三种零件总共需要69张钢板，总的材料利用率仅为80.86%。下面，我们采用上述工作流程进行优化。

选作排料图

图2是选作的4张排料图，分别用X1、X2、X3、X4表示；表9.10给出了各种排料方式下每张钢板可切割的零件数。

1#3#260 2582#240257

1#

3#

260 258

2#

240

257

6.

3#

3#

2#

3#

3#

1X

1

利用率：86.81%

X

2利用率：94.74%

2

X

3利用率：94.26%

3

X

4利用率：90.09%

4

图2 初始排料图

零件

表2

x

1

各种排料方式下每张钢板可得零件数

x x x

2 3 4

需要量

1#

21

0 0 0

500

2#

0

28 4 0

600

3#

2

1 10 11

250

建立LP模型并求最优解

1 2 3 4设x、x、x、x 分别为上述各种排料方式的切割钢板数，目标是所耗用的钢板最少。由表2，可得LP

1 2 3 4

minx =x + x+ x+ x

0 1 2 3 4

≥21x 500

≥

1

≥s.t. 28x+4x 600

≥

2 3

2x + x

1 2

+10x

3